Exponentialfunktion mit 2 Variablen modellieren

13.05.2020, 08:48	MrsSchmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialfunktion mit 2 Variablen modellieren Meine Frage: Hallo, ich möchte einen Berg (oder eine Senke) mit einer e-Funktion mit zwei Variablen in der Form f(x,y)=ae^(-bx^2+y^2+c) modellieren. Meine Ideen: Wie ich Extrema/Sattelpunkte mit partieller Ableitung und Hessematrix berechne, weiß ich, aber mit der Modellierung komme ich nicht voran. Ich habe mir eine Landkarte genommen und versucht mit Hilfe der Höhenlinien (Isoquanten) Punkte abzulesen und habe diese in eine Wertetabelle eingetragen. Das ist zum einen sehr ungenau und es führte mich auch nicht weiter. Hat jemand eine Idee / einen Ansatz für mich, an dem ich anknüpfen könnte? Für jeden Hinweis bin ich dankbar!
13.05.2020, 09:25	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(x,y)=ae^{-bx^2+y^2+c} \end{eqnarray}$ mit positivem Parameter $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ ? Damit modellierst du keine Bergkuppe, sondern einen Sattelpunkt an der bewussten Stelle. Vielleicht sollten da noch von dir vergessene Klammern rein: $\begin{eqnarray} f(x,y)=a\cdot e^{-b\cdot\left(x^2+y^2\right)+c} \end{eqnarray}$ , damit würde schon eher ein Schuh draus. P.S.: Parameter $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ kannst du dir ganz sparen, das kann man alles mit in dem Vorfaktor $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ verarbeiten.
13.05.2020, 14:12	MrsSchmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für Deine Antwort. Ja, das stimmt, y muss natürlich negativ sein (Klammern falsch gesetzt, sorry). Ich hatte auch schon einfach mal Werte eingesetzt, um damit rechnen zu können. Wenn ich die ausgedachte Funktion in GeoGebra eingebe, dann kommt da auch ein Hügel heraus, alles kein Problem, aber ich möchte eine "echte" Landschaft modellieren, also die Funktion "modellieren" und da habe ich keine Idee, wie ich das machen soll...
13.05.2020, 14:38	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Funktion hat ja bei x=y=0 ihr Maximum mit dem Wert a. Und dann geht sie mit der bekannten Glocke runter. Ein wichtiger Wert ist dabei die Wendestelle, hier also sozusagen der Wendering. Der liegt hier im Abstand $\begin{eqnarray} \frac 1 {\sqrt {2b}} \end{eqnarray}$ um das Maximum. Das sollte eigentlich zum Modellieren reichen, oder? Viele Grüße Steffen
13.05.2020, 17:03	MrsSchmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Steffen, vielen Dank für Deine Antwort. Ach so, Du hast die partielle Ableitung zweiter Ordnung (fxx) Null gesetzt und bist so auf den Wendering gekommen. Allerdings stehe ich immer noch auf dem Schlauch. Ich dachte, ich käme mit der Definitheit der Hessematrix weiter, aber das hilft mir leider gar nicht beim Modellieren. Also ich fasse nochmal zusammen, was ich habe: Maximum bei (0;0), wenn a,b größer Null sind hab' ich raus (c ist ja egal). Es liegt auf einer Höhe von a*e^c (bzw. a, wenn c=0). Der Wendering ist bei x=sqrt((1/2b)) und y=sqrt(1/2) Doch wo soll ich die Werte jetzt einsetzen, um nach den gesuchten Parametern auflösen zu können? Vielen Dank!
13.05.2020, 17:13	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Vorschlag lief eigentlich nur darauf hinaus, dass Du ungefähr weißt, wie der Hügel aussehen soll, also wo die Spitze ist und welchen Radius z.B. die halbe Höhe hat. Das verstehe ich zumindest unter Modellieren. Was Du meinst, läuft wahrscheinlich auf einen Fit Deiner gegebenen Punkte (einige oder auch alle) mit der gesuchten Zielfunktion hinaus. Da können Dir bestimmt einige Kollegen helfen.
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13.05.2020, 18:38	MrsSchmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, OK, ja, das ist ein super Hinweis, wenn ich die Formel für den Radius habe, kann ich ein bisschen mit den Höhenlinien experimentieren. Mal sehen, wohin das führt. Vielen, vielen Dank schonmal für den Ansatz, der hat mir wirklich weiter geholfen, vielen Dank!!

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