Integral mittels Riemann-Summe berechnen

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13.05.2020, 12:02	Riemänner	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral mittels Riemann-Summe berechnen Meine Frage: Guten Tag ich habe eine Frage bezüglich einer Aufgabe die ich gerade durcharbeite: Ich soll mittels Riemann-Summe das Integral $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} \! c^{x} \, dx \end{eqnarray}$ berechnen. Meine Ideen: Also, da $\begin{eqnarray} f(x) = c^{x} \end{eqnarray}$ streng monoton wachsend ist, ist $\begin{eqnarray} c^{x} \end{eqnarray}$ auf [a,b] Riemann-integrierbar. Nun muss ich mir ein $\begin{eqnarray} x_{k,n} für k\in {0, ..., n} \end{eqnarray}$ wählen, damit ich das $\begin{eqnarray} \|Z_{n}\| = max({\|x_{j,n} - x_{j-1,n}\| ; j\in (1, ..., n)}) \end{eqnarray}$ berechnen kann. Ich komme allerdings verflixt nochmal nicht auf das $\begin{eqnarray} x_{k,n} für k\in {0, ..., n} \end{eqnarray}$ .
13.05.2020, 13:42	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral mittels Riemann-Summe berechnen Was spricht dagegen, das Intervall in äquidistante Teile zu zerlegen? Dann brauchst Du dieses Maximum nicht zu bestimmen. Viele Grüße Steffen
13.05.2020, 14:14	Riemänner	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit den äquidistanten Teilen verstehe ich noch nicht so recht, deswegen habe ich es so versucht. Ich meine die Definition für eine Zerlegung die äquidistant ist: $\begin{eqnarray} x_{j} - x_{j-1} = \frac{b-a}{n} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} j\in \left\{ 1, ..., n\right\} \end{eqnarray}$ richtig? Wie verwende ich dies dann?
13.05.2020, 14:29	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt bildest Du die einzelnen Rechtecke. Das erste geht von $\begin{eqnarray} x_0=a \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} x_1=a+ \Delta x \end{eqnarray}$ und hat die Höhe $\begin{eqnarray} c^{x_0} \end{eqnarray}$ (falls Du den linken Wert nimmst). Das zweite...
13.05.2020, 15:16	Riemänner	Auf diesen Beitrag antworten »
Das verstehe ich ja so recht nicht. Danke erstmal für deine Hilfe. Anhand deiner Antwort nehme ich jetzt mal plump an: Erstes Rechteck von $\begin{eqnarray} x_{0} = a \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} x_{1} = a + x_{n}-x_{n-1} \end{eqnarray}$ Zweites Rechteck von $\begin{eqnarray} x_{1} = a + x_{n}-x_{n-1} \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} x_{2} = a + x_{n-1}-x_{n-2} \end{eqnarray}$ mit Höhe $\begin{eqnarray} c^{x_{1} } \end{eqnarray}$ Falsch überlegt, bin mir echt nicht sicher?
13.05.2020, 15:23	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Durchaus richtig überlegt, aber etwas umständlich. Deswegen ja meine Nachfrage nach der Äquidistanz. Denn es sind doch sämtliche $\begin{eqnarray} \Delta x = x_j-x_{j-1}=\frac {b-a}n \end{eqnarray}$ identisch! Also brauchst Du für die Unterkante nicht umständlich mit den Indizes rumzumachen, die ist für alle Rechtecke genauso lang. Das vereinfacht die Summenformel erheblich.
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13.05.2020, 15:51	Riemänner	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Hilfe. Also habe ich im Endeffekt dann die Summe: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{j=1}^{n} c^{\frac{b-a}{n} }\frac{b-a}{n} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{j=1}^{n} \frac{(b-a)c^{\frac{b-a}{n} } }{n} \end{eqnarray}$ Hast du evtl. noch einen kleinen Tip wie ich dann auf $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} \! c^{x} \, dx \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{c^{b}-c^{a} }{log(c)} \end{eqnarray}$ komme, das entspricht ja dem Integral. Also ein kleiner Tipp wie ich die Summe umformen muss, tue mich da manchmal noch schwer mit.
13.05.2020, 15:54	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Summe taucht der Laufindex j nicht auf, da kann was nicht stimmen. So hast Du ja immer dieselbe Höhe.
13.05.2020, 16:03	Riemänner	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, zu schnell gewesen. Muss ich dementsprechend einfach ein j an die $\begin{eqnarray} \frac{b-a}{n} \end{eqnarray}$ dran multiplizieren, also dann $\begin{eqnarray} \frac{b-a}{n} j = \frac{(b-a)j}{n} = \frac{bj-aj}{n} \end{eqnarray}$
13.05.2020, 16:04	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, dann würde das erste Rechteck nicht bei a losgehen.
13.05.2020, 16:43	Riemänner	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe jetzt ein bisschen rumgerechnet und überlegt, komme auf keine Überlegung. Anhand der Funktion haben die Rechtecke ja alle eine unterschiedliche Höhe oder? Deswegen muss ich ein j in der Summe haben, damit das erste Rechteck bei a startet und bei (b-a)/n endet, usw. bis zum letzten Rechteck [(b-a)/n), b]. Oder verstehe ich diese Zerlegungen komplett falsch. Komme dann nicht darauf wie ich ein j in die Summe ziehen muss damit dies geschieht.
13.05.2020, 16:49	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Das erste Rechteck geht zwar bei $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ los, endet aber nicht bei $\begin{eqnarray} \frac {b-a}n \end{eqnarray}$ , sondern bei $\begin{eqnarray} a + 1 \cdot \frac {b-a}n \end{eqnarray}$ . Und da geht dann auch das zweite los, das endet dann bei $\begin{eqnarray} a + 2 \cdot \frac {b-a}n \end{eqnarray}$ . Dann kommt das dritte Rechteck, das geht von $\begin{eqnarray} a + 2 \cdot \frac {b-a}n \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} a + 3 \cdot \frac {b-a}n \end{eqnarray}$ . Jetzt?
13.05.2020, 16:53	Riemänner	Auf diesen Beitrag antworten »
Dementsprechen das vierte Rechteck von $\begin{eqnarray} a+3\frac{b-a}{n} \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} a+4\frac{b-a}{n} \end{eqnarray}$ usw. Folglich habe ich dann $\begin{eqnarray} (a+j)\frac{b-a}{n} \end{eqnarray*}$ .
13.05.2020, 16:55	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohne die Klammern stimmt's.
13.05.2020, 16:56	Riemänner	Auf diesen Beitrag antworten »
Doofe Frage vielleicht, aber weshalb ohne die Klammern?
13.05.2020, 17:01	Riemänner	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat sich von selbst beantwortet, ich danke dir für deine Geduld und Hilfe. Noch eine allgemeine Frage: Ich stelle hier das erste Mal eine Frage und deshalb interessiert es mich als was die Helfer tätig sind. Sind sie beispielsweise Mathematikstudenten höheren Semesters, oder Absolventen, oder gar Doktoranten/Professoren? MFG
13.05.2020, 17:07	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Freut mich, dass es geklappt hat. Ich glaube, hier wird das ganze Spektrum abgedeckt, von Gymnasiast bis Hochschulprofessor. Viele Grüße Steffen

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