Maximaler und minimaler Gradient von Ellipsoid bestimmen

13.05.2020, 22:40	ThisGuy	Auf diesen Beitrag antworten »
Maximaler und minimaler Gradient von Ellipsoid bestimmen Meine Frage: Gegegeben sei das skalare Feld $\begin{eqnarray} f(\vec{r}) = \frac{x^2+y^2}{a^2} + \frac{z^2}{b^2}, \vec{r} = (x,y,z)^{T}, a\neq 0, b \neq 0 \end{eqnarray}$ a) Berechnen Sie den Gradienten von f und seinen Betrag. b) Wegen der Rotationssymmetrie von $\begin{eqnarray} f(\vec{r}) \end{eqnarray}$ um die z-Achse hängt der Betrag des Gradienten auf einer Fläche $\begin{eqnarray} f(\vec{r}) = f_{0} \end{eqnarray}$ nur von z ab. An welchen Orten wird der Betrag des Gradienten minimal und an welchen maximal? Die a) habe ich lösen können, aber an der b sitze ich bereits seit stunden ohne Erfolg. Wenn mir jemand bei dieser helfen könnte wäre ich sehr dankbar! Meine Ideen: Bei der a) kommt als Gradient $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac{2x}{a^{2} } \\ \frac{2y}{a^{2} } \\ \frac{2z}{b^{2} } \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ raus. Der Betrag ist $\begin{eqnarray} 2\sqrt{(\frac{x^{2} }{a^{4}}+\frac{y^{2} }{a^{4}}+\frac{z^{2} }{b^{4}}) } \end{eqnarray}$ . Mein Ansatz für die b) war es zu versuchen den Betrag möglichst umzuformen um mit diesem eine Extremwertbestimmung durchzuführen, doch ich bin allerdings auf nichts sinnvolles gekommen.
13.05.2020, 23:25	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht ja nur um die Gradienten auf der Fläche $\begin{eqnarray} f(\vec{r})=f_0 \end{eqnarray}$ bestimmt werden, das bedeutet umgestellt $\begin{eqnarray} \frac{x^2+y^2}{a^2} = f_0-\frac{z^2}{b^2} \end{eqnarray}$ , und das in den Betrag des Gradienten eingesetzt schließlich $\begin{eqnarray} 2\sqrt{\frac{x^2+y^2}{a^4}+\frac{z^2}{b^4}} = 2\sqrt{\frac{f_0}{a^2}-\frac{z^2}{a^2b^2}+\frac{z^2}{b^4}} \end{eqnarray}$ , und da ist sie doch schon, die Abhängigkeit nur von $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ . Offenkundig muss für $\begin{eqnarray} f(\vec{r})=f_0 \end{eqnarray}$ dann auch $\begin{eqnarray} 0\leq \|z\|\leq \|b\|\sqrt{f_0} \end{eqnarray}$ gelten...
14.05.2020, 11:46	thisguy	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen dank!

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