Stieltjes-Integral

14.05.2020, 11:06

mcR2

Stieltjes-Integral

Meine Frage:
Hallo, ich soll das folgende Integral berechnen:

Bestimmen Sie eine auf, $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ monoton wachsende Funktion $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha(1) \neq \alpha(0) \end{eqnarray*}$ , für die gilt

$\begin{eqnarray*} \int_{[0,1]}^{} \! x \, d\alpha(x)=\frac{1}{5} (\alpha(1)-\alpha(0) ) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Grundsätzlich gilt ja:

DEF: Die Funktion $\begin{eqnarray*} \alpha:\mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ sei monoton wachsend auf R. Die Funktion f(x)>=0 sei Borel-messbar auf $\begin{eqnarray*} D \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Dann sei

$\begin{eqnarray*} \int_{D}^{} \! f(x) \, d\alpha(x):=\int_{D}^{} \! f(x) \, du \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u(I) = \alpha(b)- \alpha(a) \end{eqnarray*}$ .

Also ist nach der Aufgabenstellung der einzige Funktionswert von f(x) =1/5 sein, sonst immer 0, oder ??

und alpha würde ich z.B so wählen:

2019 für [0,1/5)

2020 für [1/5, 1]

14.05.2020, 11:18

Ulrich Ruhnau

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RE: Stieltjes Integral
Ich weiß nicht, wozu ein Stieltjes-Integral gut ist. Ist vielleicht $\begin{eqnarray*} \alpha (x)=x^3 \end{eqnarray*}$ eine Möglichkeit?

14.05.2020, 11:52

mcR2

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RE: Stieltjes Integral
Was meinst du mit "---"

14.05.2020, 13:10

mcR2

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RE: Stieltjes Integral

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Ich weiß nicht, wozu ein Stieltjes-Integral gut ist. Ist vielleicht $\begin{eqnarray*} \alpha (x)=x^3 \end{eqnarray*}$ eine Möglichkeit?

Das ist eine sehr gute Idee, immerhin ist $\begin{eqnarray*} \alpha(x)=x^3 \end{eqnarray*}$ eine monoton wachsende Funktion.
Ich wäre mir auch nicht so sicher, ob das gehen würde

14.05.2020, 14:53

mcR2

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RE: Stieltjes Integral
Falls jemand noch eine Idee hat kann er gerne noch etwas dazu schreiben smile

14.05.2020, 19:31

Leopold

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Von Stieltjes-Integralen habe ich zwar schon einmal gehört, es ist aber lange her (ich denke, es war im Zusammenhang mit Kurvenintegralen), und ich müßte nachschlagen, wie das genau geht. Auf jeden Fall sollte für differenzierbares $\begin{align*} \alpha(x) \end{align*}$ und stetiges $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ das Folgende gelten:

$\begin{align*} \int_0^1 f(x) ~ \dd \alpha(x) = \int_0^1 f(x) \cdot \alpha'(x) ~ \dd x \end{align*}$

Wenn wir es daher mit einem differenzierbaren $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ versuchen, dann zeigt partielle Integration

$\begin{align*} \int_0^1 x ~ \dd \alpha(x) = \frac{1}{5} \left( \alpha(1) - \alpha(0) \right) \ \ \Leftrightarrow \ \ \alpha(1) - \int_0^1 \alpha(x) ~ \dd x = \frac{1}{5} \left( \alpha(1) - \alpha(0) \right) \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \ \ \text{(*)} \ \ \int_0^1 \alpha(x) ~ \dd x = \frac{4}{5} \alpha(1) + \frac{1}{5} \alpha(0) \end{align*}$

Und nun? Irgendwelche Funktionstypen probieren. Ich habe es erst wenig erfolgreich mit einer Exponentialfunktion versucht. Ich fand zwar eine, die $\begin{align*} \text{(*)} \end{align*}$ erfüllt, die war aber nicht streng monoton wachsend. Erfolgreicher war ich mit einem Potenzansatz:

$\begin{align*} \alpha(x) = x^p \end{align*}$

Im Ansatz darf der Parameter $\begin{align*} p \end{align*}$ jede reelle Zahl $\begin{align*} >0 \end{align*}$ sein. Dann ist $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ im Intervall $\begin{align*} [0,1] \end{align*}$ auf jeden Fall streng monoton wachsend. Jetzt geh mit dem Ansatz in $\begin{align*} \text{(*)} \end{align*}$ und schau, ob du ein $\begin{align*} p \end{align*}$ finden kannst.

14.05.2020, 21:22

HAL 9000

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RE: Stieltjes-Integral

Zitat:

Original von mcR2
und alpha würde ich z.B so wählen:

2019 für [0,1/5)

2020 für [1/5, 1]

Da noch keiner auf diesen Vorschlag eingegangen ist: Passt! Freude

15.05.2020, 09:05

Ulrich Ruhnau

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RE: Stieltjes Integral

Zitat:

Original von mcR2
Bestimmen Sie eine auf, $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ monoton wachsende Funktion $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha(1) \neq \alpha(0) \end{eqnarray*}$ , für die gilt

$\begin{eqnarray*} \int_{[0,1]}^{} \! x \, d\alpha(x)=\frac{1}{5} (\alpha(1)-\alpha(0) ) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Ich weiß nicht, wozu ein Stieltjes-Integral gut ist. Ist vielleicht $\begin{eqnarray*} \alpha (x)=x^3 \end{eqnarray*}$ eine Möglichkeit?

Nach dem, was Leopold geschrieben hat, würde ich lieber auf $\begin{eqnarray*} \alpha (x)=x^{\frac 14} \end{eqnarray*}$ plädieren. Der Grund ist: $\begin{eqnarray*} \dd \alpha=\frac 14 x^{-\frac 34}\dd x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{[0,1]}^{} \! x \, d\alpha(x)=\int_{0}^{1} \! x\cdot \frac 14 x^{-\frac 34} \, \dd x=\int_{0}^{1} \! \frac 14 x^{\frac 14} \, \dd x=\left.\frac 14\cdot\frac 45x^{\frac 54}\right|_0^1=\frac 15 \end{eqnarray*}$

Hier ein kleiner Vergleich der gemachten Vorschläge:

15.05.2020, 09:54

Ulrich Ruhnau

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Jetzt komme ich erst dahinter, was HAL und mcR2 gemeint haben.
Wenn man $\begin{eqnarray*} \alpha (x) = 2019+\Theta \left(x-\frac 15\right) \end{eqnarray*}$ ansetzt, dann bekommt man $\begin{eqnarray*} \dd \alpha=\delta \left(x-\frac 15\right) \dd x \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \Theta () \end{eqnarray*}$ die Heaviside-Funktion ist und $\begin{eqnarray*} \delta () \end{eqnarray*}$ die Diracsche Deltafunktion.

Dann ergibt sich für das Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{[0,1]}^{} \! x \, d\alpha(x)=\int_{0}^{1} \! x\,\delta \!\left(x-\frac 15 \right) \dd x =\frac 15 \end{eqnarray*}$

15.05.2020, 10:20

Leopold

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Ich ziehe meinen Ansatz zwar nicht zurück (UR hat ihn zu Ende geführt), aber es ist der Ansatz eines Mathematikers, der sich mit dem eigentlichen Problemfeld nicht auskennt (und gerade auch keine Lust hat, da tiefer einzusteigen), versucht, sich schnell ein Bild zu machen, das Problem in seine Welt hinüberträgt und aus seinem Repertoire schöpft, um einen vernünftigen Ansatz aufzustellen. Ich denke, was HAL vorschlägt, richtet sich eher danach, was die Aufgabensteller und der Fragesteller intendieren.

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