Winkel im Sechseck |
| 14.05.2020, 12:20 | laserboy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Winkel im Sechseck Gegeben ist ein regelmäßiges Sechseck, dessen 6 Kanten als Spiegel fungieren sollen. Unter welchem Winkel müsste ein Laserstrahl in C einfallen, damit er durch Reflexion an allen 6 Spiegelkanten durch den gegenüber liegenden Ausgang in F austritt ? Hat jemand eine Idee dazu und ist das überhaupt möglich ? |
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| 14.05.2020, 13:25 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich habe es mit Euklid DynaGeo ausprobiert. Jetzt weiß ich, dass es keine Lösung gibt, die alle Spiegel entgegen dem Uhrzeigersinn nacheinander genau einmal trifft. Alle Alternativen auszuwählen und zu probieren ist mir mit diesem Werkzeug zu aufwendig. |
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| 16.05.2020, 15:50 | Ulrich Ruhnau | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Winkel im Sechseck [attach]51290[/attach] Nach dem, was ich mir mit GeoGebra mühselig zusammengestückelt habe, muß der Strahl im Winkel von gegen die Ebene auf den ersten Spiegel treffen, damit er nach sechs weiteren Reflektionen auf Punkt F trifft. Um das Problem genau anzugehen, würde ich einfach ein Folge bilden, die beschreibt, wo auf jeder Kante der Lichtstrahl auftrifft. Ebenso gibt es eine Folge von Auftreffwinkeln . Es wäre mal interessant, dafür ein Iterationsformel herzuleiten. Wer will das machen? 
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| 16.05.2020, 16:29 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Winkel im Sechseck
Dieses Ergebnis kann ich bestätigen. Exakt gilt: Man kann sich das Suchen und Berechnen einer Lösung sehr erleichtern, wenn man bedenkt, dass man, anstatt den Strahl an einer Kante zu spiegeln, diesen auch gerade weiterlaufen lassen kann und stattdessen das Sechseck jeweils an dieser Kante spiegelt. Den Weg im ursprünglichen Sechseck bekommt man dann, indem man diese Spiegelungen sukzessive wieder rückgängig macht. [attach]51292[/attach] |
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| 16.05.2020, 17:16 | laserboy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Genial, vielen Dank 
Betrachtet man die rote Strecke als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dann beträgt die Länge der Gegenkathete also und entsprechend die Länge der Ankathete , wobei a die Kantenlänge des Sechsecks ist und nach Pythagoras für den Abstand zweier zueinander parallelen Sechseckseiten ist. |
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| 16.05.2020, 17:45 | Ulrich Ruhnau | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Winkel im Sechseck Hallo Huggy, was hast Du für ein Zeichenprogramm verwendet? Du hast mehr Sechsecke gezeichnet als nötig. Das kann ja nur passieren, wenn das Zeichnen besonders einfach ist. Hast Du etwas besseres als GeoGebra? |
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| 16.05.2020, 17:51 | laserboy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Vielleicht hat er ja auch nur nach "Sechseck Parkettierung" gegoogelt und mit der Bildersuche etwas passendes rauskopiert. So hätte ich es zumindest gemacht, wenn ich auf Huggys Idee gekommen wäre. 
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| 16.05.2020, 17:54 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Winkel im Sechseck Das Bild habe ich mit Mathematica gezeichnet. Ich hatte ein paar mehr Sechsecke gezeichnet, weil ich zunächst nicht wusste, ob es eine Lösung gibt und wo sie liegt Hat man in Mahematica eine Funktion definiert, die ein Sechseck um einen Mittelpunkt mit einer bestimmten Seitenlänge zeichnet, kann man diese Funktion natürlich für beliebige Mittelpunkte aufrufen. Für schönes geometrisches Zeichnen und Rechnen dürfte GeoGebra trotzdem besser geeignet sein. |
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| 16.05.2020, 18:00 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@Ulrich Ruhnau Gut gemacht, ich habe zu früh aufgegeben. @Huggy Die Idee ist besser, erspart sie doch jede Menge Arbeit. |
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| 19.05.2020, 16:02 | laserboy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich habe die originale Aufgabenstellung geschickt bekommen, ich hänge sie mal unten samt Skizze an. Angeblich soll es tatsächlich mit einem Winkel w<10° mit genau 6 Spiegelungen an jeder Kante genau einmal klappen. |
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| 19.05.2020, 20:20 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Stimmt! Ich komme bei dem Strahlengang auf . 
[attach]51328[/attach] EDIT: Hatte mich erst bei den Waben verzählt - korrigiert. 
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| 20.05.2020, 01:20 | laserboy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sehr schön, ich komme jetzt auch auf den Winkel. 
Mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit wird das wohl der eleganteste und vielleicht sogar einzige Weg sein ? Oder sieht jemand eine Möglichkeit den gesuchten Winkel ohne diese "Parkett-Methode" nur innerhalb des einen großen Sechsecks z.B. mittels Aufstellen einer Gleichung zu lösen ? Ich habe es probiert, drehe mich aber immer nur im Kreis und erzeuge lauter allgemeingültige Zusammenhänge (wahre Aussagen), die am Ende unabhängig vom gesuchten Winkel werden. |
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| 20.05.2020, 05:13 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Na der einzige ist es sicher nicht, es gibt ja auch die erste Lösung oben: In der Problemstellung steht ja nur "Reflexion an allen 6 Spiegelkanten" statt "Reflexion an allen 6 Spiegelkanten jeweils genau einmal", insofern sind beides Lösungen! Außerdem ist die Weglänge bei der ersten Lösung mit trotz einer Reflexion mehr deutlich kürzer als die der zweiten Lösung. |
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| 20.05.2020, 15:58 | laserboy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich meinte es so: Gibt es noch eine andere rechnerische Möglichkeit, um an den Winkel von ca. 8,95 ° zu gelangen, ohne mit der "Sechseck-Parkettierung" zu arbeiten ? Gibt es - bezogen auf den verschiedenfarbigen Strahlenverlauf in meinem vorletzten Beitrag - z.B. irgendwelche Dreiecke oder Geraden, die man zum Aufstellen einer Gleichung oder eines Gleichungssystems nutzen kann, um rechnerisch an den Winkel zu kommen ? Zweifelsohne geht es mit den Waben - wenn man mit technischen Hilfsmitteln zur Erstellung des Wabenmusters arbeitet - am schnellsten. Mich würde eben noch interessieren, ob jemand auch eine andere Lösungsmethode sieht, die sich ausschließlich auf den Strahlenverlauf in dem einen Sechseck bezieht. |
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| 20.05.2020, 17:04 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Was ist an der von Huggy hier vorgestellten Methode "unrechnerisch"? Zweifelst du das Reflexionsgesetz an, auf dem diese Methode beruht? Oder was sonst lässt dich die Nase darüber rümpfen (so fasse ich deine Wortwahl auf)? 
Niemand hält dich auf - nur zu: Fang mit einem (zumindest in einem gewissen Intervall) beliebigen Schnittwinkel , der ausgehende Strahl trifft nach und nach die Seiten, wo du die Auftreffpunkte sowie die ausgehenden Strahlen gemäß "Einfallwinkel = Ausfallwinkel" weiter berechnen kannst - viel Spaß. |
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| 20.05.2020, 19:56 | laserboy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich verstehe ehrlich gesagt nicht, warum du direkt so negativ wirst und Dinge reininterpretierst, die ich in keinster Weise gemeint habe. Ich habe mehrmals Huggys Weg gelobt, verstehe ihn und war einfach nur neugierig, ob es auch noch anders geht. Ist der Gedanke so abwegig, sich für alternative Lösungswege zu interessieren ? Gerade hier, wo es ja nahe liegt, auch etwas in dem einen Sechseck zu versuchen. Wären diese auf die Skizze mit den farbigen Strahlen bezogenen Gedanken zielführend : Man legt das Sechseck in ein Koordinatensystem, z.B. mit der Kantenlänge a=1 und Mittelpunkt im Ursprung. Nun bestimmt man eine Gerade g durch den Eintrittspunkt A(-1|0) mit der Steigung m=tan(alpha). Ebenso bestimmt man eine Gerade h, die durch die obere, rechte Sechseckkante durch die Punkte D(1|0) und verläuft und schneidet dann g mit h, um den ersten Auftreffpunkt P1 zu erhalten. Das macht man jetzt so oft, bis man beim Austrittspunkt D ist und macht dann einen Koordinatenvergleich, da die Koordinaten in D ja fest mit (1|0) vorgegeben sind. Mir ist bewusst, dass das extrem aufwendig ist - daher die Frage(n) : 1) Ist das überhaupt zielführend ? 2) Geht es mit irgendeiner Ausnutzung von Symmetrie, Winkelsummen in bestimmten Dreiecken etc. effizienter oder sogar anders ? |
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| 20.05.2020, 20:04 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Weil ich diesen Spruch "kann man das auch rechnerisch lösen" schon viel zu oft in bescheuertem Zusammenhang gehört habe.
MACHEN statt endlos drüber rumzudiskutieren "könnte man nicht, sollte man nicht, blablabla": Wenn man so von dem Weg überzeugt ist, dann legt man los! Man kann nicht ewig darauf vertrauen, dass hinter einem einer steht und sagt, was geht und was geht nicht. |
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| 20.05.2020, 20:19 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@ laserboy Das Problem bei deinem Ansatz scheint mir zu sein, die Intervalle für den Startwinkel zu finden, in denen die Seiten in einer bestimmten Reihenfolge vom Strahl getroffen werden. Das ist wohl ein recht chaotisches System, das zu vielen Fallunterscheidungen zwingt, die schnell uferlos werden, so daß man die Übersicht verliert. Diese Aufgabe ist keine Routineaufgabe, so, wie man die 37. quadratische Gleichung löst, nachdem man bereits 36 gelöst hat. Huggys Lösung ist sehr einfach, wenn man die Idee mit der Sechseckparkettierung hat. Das Geniale an Huggys Lösung ist also nicht die Rechnung hinterher, die man mit Routine leicht bewältigen kann. Das Geniale ist der Gedanke mit der Sechseckparkettierung. Immer wieder wird man gefragt: Wie kommt man auf so etwas? Ich kann nicht in Huggys Kopf blicken. Und Kreativität zu erklären, ist schwer. Das hängt sicher teilweise mit den Genen zusammen, aber auch mit Tugenden wie Hartnäckigkeit und Fleiß und dem Willen, sich voll in eine Sache hineinzubegeben und erst einmal alles andere zurückzustellen. Und natürlich mit viel Erfahrung. "Alte Hasen" können aus einem breiteren Spektrum von Techniken schöpfen, weil sie einfach schon viel gesehen haben. Du hast doch jetzt auch etwas gesehen, den Trick mit den Sechseckwaben. Nimm den in dein Repertoire auf. Vielleicht begegnet dir in der Zukunft wieder einmal eine Aufgabe, wo du mit einem ähnlichen Trick zur Lösung geführt wirst. Und sei es nur die Erkenntnis, daß man manchmal eine Sache nur von der anderen Seite betrachten muß, hier statt die Strahlen an den Seiten zu spiegeln, die Sechsecke an den Kanten zu spiegeln. Das kann oft helfen: der Perspektivwechsel. |
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| 20.05.2020, 21:22 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hier das finde ich allerdings keineswegs bescheuert! Mit der beschriebenen Methode könnte sich doch sicherlich eine Funktion des Startwinkels aufstellen lassen, die den Endpunkt liefert. Bei gegebenem Endpunkt muss die nun nach dem Winkel aufgelöst werden. Nur wird es sehr wahrscheinlich keine analytische Lösung geben, weil das ein Trumm von trigonometrischen Funktionen sein wird. Aber numerisch sollte es gehen. Viele Probleme kann man nun mal algebraisch wie auch geometrisch lösen, hier vielleicht auch mit komplexen Zahlen, über die Marcus du Satoy schreibt:
(aus: Das Geheimnis der Symmetrie, dtv 2011, S. 184) |
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| 20.05.2020, 21:58 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hab ich doch gar nicht bestritten, er soll es nur endlich mal anpacken! Statt ewig immer um Rückversicherungen nachfragen. Die geometrischen Grundlagen sind doch hinlänglich bekannt: Entweder analytisch über Geradengleichungen und deren Schnitte, oder über Dreiecksrechnungen - je nach Geschmack. |
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