Letzte Ziffer vor und erste nach dem Komma

14.05.2020, 15:58	Derek1	Auf diesen Beitrag antworten »
Letzte Ziffer vor und erste nach dem Komma Meine Frage: Was ist die letzte Ziffer vor dem Komma und die erste Ziffer nach dem Komma der Zahl $\begin{eqnarray} (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2002} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Anwendung von Modulorechnungen?
14.05.2020, 18:10	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Modulorechnungen sind naturgemäß im Bereich der ganzen Zahlen relevant. ----------- Eine ähnliche Frage findet sich dort. mY+
14.05.2020, 19:10	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
mYthos' Link weist auf die gängige Methode: Für $\begin{eqnarray} x:=\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^{2002} \end{eqnarray}$ betrachtet man die ganze Zahl $\begin{eqnarray} y:=x+\frac{1}{x} = \left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^{2002} + \left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2002} = 2\sum_{k=0}^{1001} \binom{2002}{2k} 3^k \cdot 2^{1001-k} \end{eqnarray}$ Die ist zum einen gerade, für weitere Informationen zur letzten Ziffer von $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ betrachte man $\begin{eqnarray} y\bmod 5 \end{eqnarray}$ . EDIT: Einfacher ist allerdings, eine Quadrierungsstufe doch schon mal "von Hand" durchzuführen: $\begin{eqnarray} y = \left(5+2\sqrt{6}\right)^{1001} + \left(5-2\sqrt{6}\right)^{1001} = 2\sum_{k=0}^{500} \binom{1001}{2k} 5^{1001-2k} 24^k \end{eqnarray}$ P.S.: Die Antwort bzgl. der beiden gesuchten Ziffern ist für alle $\begin{eqnarray} x_n:=\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n=4k+2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} k\geq 1 \end{eqnarray}$ dieselbe.

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