Stieltjes-Integral 2

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14.05.2020, 17:34

mcR2

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Stieltjes-Integral 2

Meine Frage:
Hallo,

kann mir jemand bei der Aufgabe helfen?

Meine Ideen:
Keine Ideen.

14.05.2020, 21:30

HAL 9000

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Man kann sich leicht überlegen, dass für dieses $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ die Berechnungsformel

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{\mathbb{R}} g(x) ~ \dd\alpha(x) = 13g(0) + 12g(1) \end{eqnarray*}$

für alle Funktionen $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ gilt, die an den Stellen 0 und 1 stetig sind. (Das beantwortet dann auch gleich die Frage (b).)

14.05.2020, 21:34

mcR2

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Wie kommst du aber da drauf ?
Leicht überlegen ? Komme leide nicht drauf und bin echt am verzweifeln -.-

14.05.2020, 21:51

HAL 9000

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Rechtsstetige $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ kann man (bis auf eine additive Konstante) interpretieren als Verteilungsfunktionen eines endlichen Maßes $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ (das besagt wohl dein Satz 4.5), d.h., es ist

$\begin{eqnarray*} \mu\left((-\infty,x]\right) = \alpha(x) - \alpha(-\infty) \end{eqnarray*}$ , wenn ich mal salopp $\begin{eqnarray*} \alpha(-\infty):=\lim_{t\to -\infty} \alpha(t) \end{eqnarray*}$ abkürze.

Besitzt $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ zudem nur endlich viele Unstetigkeitsstellen (Sprungstellen) $\begin{eqnarray*} x_1,\ldots,x_n \end{eqnarray*}$ und ist dazwischen jeweils konstant, dann ist $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ein diskretes Maß auf diesen Werten mit

$\begin{eqnarray*} \mu\left(\left\{x_k\right\}\right) = \alpha\left(x_k+0\right) - \alpha\left(x_k-0\right) = \alpha\left(x_k\right) - \alpha\left(x_k-0\right) \end{eqnarray*}$ ,

und bekommen für alle an den Stellen $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ stetige Funktionen $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ den Integralwert

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{\mathbb{R}} g(x) ~ \dd\alpha(x) = \int\limits_{\mathbb{R}} g(x) ~ \dd\mu(x) = \sum_k g\left(x_k\right)\cdot \mu\left(\left\{x_k\right\}\right) \end{eqnarray*}$ .

Das folgt aus der Definition des Stieltjes-Integrals sowie der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ an den kritischen Stellen - bei diesem einfachen $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ gibt es da keine Überraschungen beim Beweis. Ich werde die Beweise nicht ausführlich darlegen, das kannst du überall nachlesen - womöglich kam es sogar in eurer Vorlesung.

14.05.2020, 23:20

mR2

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Danke für die ausführliche Antwort!
Ich kann das alles nachvollziehen. Es ist ja g(x)= e^x: Ich werde nun alle Funktionswerte durchgehen:
Z.B
e^(0) * u( {0})= alpha( 0+) - alpha(0-), da der rechts und linksseitige Grenzwert gleich ist gilt doch alpha(0+)-alpha(0-)=0

e^(1)* ( alpha(1+)- alpha(1-))= e^(1)* ( 0)=0
Irgendwas stimmt hier nicht :/

15.05.2020, 06:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von mR2
da der rechts und linksseitige Grenzwert gleich ist

Aber doch nicht dein $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ an den Stellen 0 und 1. unglücklich

Es ist $\begin{eqnarray*} \alpha(0-)=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \alpha(0)=\alpha(1-)=13 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \alpha(1)=25 \end{eqnarray*}$ .

15.05.2020, 11:48

mcR2

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Zu der a)

Also noch ein Versuch:

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R }^{} \! g(x) \, d\alpha(x) = \sum\limits_{k}^{} g(x_{k}) u(\left\{ x_{k}\right\} ) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(x)=e^{x} \end{eqnarray*}$ .

Also normalerweise muss man jeden Funktionswert auswerten und genau so werde ich auch anfangen:

- $\begin{eqnarray*} e^{0} u(\left\{ 0\right\})=e^{0} ( \alpha(0+)-\alpha(0-) ) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} e^{0} ( 13-0 ) =e^{0}13 \end{eqnarray*}$

- $\begin{eqnarray*} e^{1} u(\left\{ 1\right\})=e^{1} ( \alpha(1+)-\alpha(1-) ) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} e^{0} ( 25-13 ) =e^{1}12 \end{eqnarray*}$

Für alle anderen Funktionswerte gilt:

$\begin{eqnarray*} e^{x} u(\left\{ x\right\})=e^{x} ( \alpha(x+)-\alpha(x-) ) =e^{x}(0)=0 \end{eqnarray*}$ , da der links und rechtsseitige Grenzwert gleich ist.

Insgesamt haben wir also:

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R }^{} \! g(x) \, d\alpha(x) = \sum\limits_{k}^{} g(x_{k}) u(\left\{ x_{k}\right\} ) =13e^{0}+12e \end{eqnarray*}$ , genau das was du auch hast smile

b) Es muss doch eigentlich folgendes gezeigt werden:
$\begin{eqnarray*} mü \end{eqnarray*}$ -Integrierbarkeit gilt genau dann, wenn:

$\begin{eqnarray*} \int_{D}^{} \! f^{+} \, du <+\infty \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \int_{D}^{} \! - f^{-} \, du <+\infty \end{eqnarray*}$ gilt, oder äquivalent dazu:

$\begin{eqnarray*} \int_{D}^{} \! |f| \, du <+\infty \end{eqnarray*}$ .

In unserem Fall hängt das doch eigentlich von unserem Maß ab, also von alpha oder ?

15.05.2020, 15:37

mcR2

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Antwortest du mir noch? smile

Ich warte ganz neugierig auf deine Antwort Big Laugh

15.05.2020, 15:41

HAL 9000

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Ich habe auf die Fragen (a)(b) geantwortet. Ich habe aber keine Lust, ermüdende Detailbeweise hinsichtlich der Fragen Äquivalenz von Stieltjes- und zugehöriger Lebesgue-Integrale zu führen.

15.05.2020, 16:23

McR2

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Zitat:

Original von HAL 9000
Man kann sich leicht überlegen, dass für dieses $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ die Berechnungsformel

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{\mathbb{R}} g(x) ~ \dd\alpha(x) = 13g(0) + 12g(1) \end{eqnarray*}$

für alle Funktionen $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ gilt, die an den Stellen 0 und 1 stetig sind. (Das beantwortet dann auch gleich die Frage (b).)

Du meintest das hier. Ich verstehe, aber den Ansatz nicht..
In der Musterlösung haben wir etwas voll komisches gemacht verstehe den sinn dahinter nicht verwirrt

Checkst du was da gemacht wurde ?

15.05.2020, 16:55

HAL 9000

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Das ist doch nur das diskrete Maß mit $\begin{eqnarray*} \mu(\{0\})=13 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu(\{1\})=12 \end{eqnarray*}$ anders aufgeschrieben. Für dieses Maß ist zur Berechnung von $\begin{eqnarray*} \mu(A) \end{eqnarray*}$ ja offenbar nur entscheidend, ob 0 oder 1, beide oder keiner der beiden drin sind.

Und es ist eine komplizierte Aufschreibe: Wenn wir nicht 2 sondern 10 Punkte haben, auf denen die Verteilung liegt, müssen wir schon 1024 Fälle aufschreiben...

15.05.2020, 19:13

McR2

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Hmm ja stimmt, das ist das selbe. Also ist das eigentlich gar nicht die b)? Oder was hat das mit der b) zu tun verwirrt

16.05.2020, 12:04

McR2

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Noch da ?

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