Grenzwert berechnen

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14.05.2020, 19:37

Mathe2r

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Grenzwert berechnen

Meine Frage:
Hi hat jemand zu der Aufgabe eine Idee ?

Meine Ideen:
Leider zu kompliziert unglücklich

14.05.2020, 19:49

Leopold

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Wende zunächst das Logarithmusgesetz $\begin{align*} \ln(u^r) = r \ln(u) \end{align*}$ an und erkenne in der Summe eine Riemannsche Summe für ein Integral. Die Funktion, über die integriert wird, ist naheliegend.

14.05.2020, 19:54

Mathe2R

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Also ich habe jetzt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n} ln( 1+\frac{1}{k}) \end{eqnarray*}$

weiß aber nicht mehr weiter..

14.05.2020, 19:56

Mathe2R

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Ups meinte,
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n} ln( 1+\frac{k}{n}) \end{eqnarray*}$

14.05.2020, 20:03

Leopold

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Hattet ihr schon den Riemannschen Integralbegriff und Riemannsche Summen?

14.05.2020, 20:05

Mathe2r

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Ja schon, aber lange her.. Kann mich nicht so daran erinnern verwirrt

Geht das auch ohne ?

14.05.2020, 20:21

Leopold

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Es ist halt grad eine Riemannsche Summe. Ob es auch ohne geht … keine Ahnung …

Wenn man das Intervall $\begin{align*} [a,b] \end{align*}$ gemäß

$\begin{align*} a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b \end{align*}$

in $\begin{align*} n \end{align*}$ Intervalle unterteilt, so daß das $\begin{align*} k \end{align*}$ -te Teilintervall die Breite $\begin{align*} \Delta x_k = x_k - x_{k-1} \end{align*}$ besitzt, dann nennt man

$\begin{align*} \sum_{k=1}^n f(\xi_k) \Delta x_k \end{align*}$

eine Riemannsche Summe zum Integral $\begin{align*} \int_a^b f(x) ~ \dd x \end{align*}$ . Die $\begin{align*} \xi_k \end{align*}$ sind in $\begin{align*} \left[ x_{k-1} , x_k \right] \end{align*}$ beliebig gewählt. Wenn nun für $\begin{align*} n \to \infty \end{align*}$ die $\begin{align*} \Delta x_k \end{align*}$ simultan beliebig klein werden, dann konvergiert die Riemannsche Summe unter geeigneten Voraussetzungen an $\begin{align*} f \end{align*}$ gegen $\begin{align*} \int_a^b f(x) ~ \dd x \end{align*}$ . Stetigkeit für $\begin{align*} f \end{align*}$ genügt zum Beispiel als Voraussetzung.

Besonders einfach wird die Situation, wenn die $\begin{align*} x_k \end{align*}$ das Intervall $\begin{align*} [a,b] \end{align*}$ in $\begin{align*} n \end{align*}$ gleiche Teile teilen. Dann sind alle $\begin{align*} \Delta x_k = \frac{1}{n} \end{align*}$ und die Riemannsche Summe sieht so aus:

$\begin{align*} \sum_{k=1}^n f(\xi_k) \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(\xi_k) \end{align*}$

Vielleicht erkennst du hierin die Struktur deiner Summe.

Was ist $\begin{align*} f \end{align*}$ ? Was ist $\begin{align*} a \end{align*}$ ? Was ist $\begin{align*} b \end{align*}$ ? Was sind die $\begin{align*} x_k \end{align*}$ ? Was sind die $\begin{align*} \xi_k \end{align*}$ ?

14.05.2020, 20:27

Mathe2r

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oh ja ich kann was erkennen:

f ist dann: $\begin{eqnarray*} ln(1+\frac{k}{n}) \end{eqnarray*}$

a=0?

b=1?

die anderen beiden weiß ich leider nicht.. unglücklich

Der Grenzwert dieser Summe ist dann das Integral ??

14.05.2020, 20:37

Leopold

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Das ist fast richtig. Es ist allgemein $\begin{align*} f(x) = \ln(1+x) \end{align*}$ .
Wenn du das Intervall $\begin{align*} [0,1] \end{align*}$ in $\begin{align*} n \end{align*}$ gleiche Teile teilst, was sind dann deine Teilungspunkte $\begin{align*} x_1,x_2,\ldots,x_n \end{align*}$ , allgemein also $\begin{align*} x_k \end{align*}$ ?

Was mußt du nun in $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ für $\begin{align*} x \end{align*}$ einsetzen, um den Ausdruck $\begin{align*} \ln \left( 1 + \frac{k}{n} \right) \end{align*}$ zu erhalten? Das, was du einsetzen mußt, sind deine $\begin{align*} \xi_k \end{align*}$ . Überprüfe, ob $\begin{align*} x_{k-1} \leq \xi_k \leq x_k \end{align*}$ gilt, dann paßt alles.

Alternative: Du kannst auch die Funktion $\begin{align*} f(x) = \ln(x) \end{align*}$ im Intervall $\begin{align*} [1,2] \end{align*}$ betrachten. Das läuft auf dasselbe hinaus.

14.05.2020, 20:38

mathe2r

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oder nein...

f: ln(x)

$\begin{eqnarray*} \xi_{k}=1-\frac{k}{n} \end{eqnarray*}$

bei den xk weiß ich leider nicht weiter und bei a,b..

14.05.2020, 20:43

Mathe2r

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Also gut wenn f(x)=ln(1+x) ist, dann ist xi=k/n wie finde ich aber meine xk's raus hm

14.05.2020, 20:45

Leopold

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Ich weiß nicht, ob du meinen letzten Beitrag bemerkt hast, den ich kurz vor deinem weggeschickt habe.

Entscheide dich für eine Variante: $\begin{align*} f(x) = \ln(1+x), \ x \in [0,1] \end{align*}$ oder $\begin{align*} f(x) = \ln(x), \ x \in [1,2] \end{align*}$ . Es ist egal, was du nimmst. Danach mußt du aber dabei bleiben.

14.05.2020, 20:48

Mathe2r

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Ja habe ich gelesen.

Ich entscheide mich für f(x)=ln(1+x), dann ist $\begin{eqnarray*} \xi_{k}=\frac{k}{n} \end{eqnarray*}$
und wie komme ich auf meine xk?

und wie kamst du auf das Intervall [0,1] bzw auf das [1,2]?

14.05.2020, 20:50

Leopold

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Zitat:

Original von Mathe2r
wie finde ich aber meine xk's raus hm

Teile einfach das Intervall $\begin{align*} [0,1] \end{align*}$ in sieben gleiche Teile (mach eine Skizze). Es geht los mit $\begin{align*} x_0=0 \end{align*}$ und endet bei $\begin{align*} x_7=1 \end{align*}$ . Was sind die Teilungspunkte $\begin{align*} x_1,x_2,\ldots,x_6 \end{align*}$ ? Und das mußt du abstrahieren: statt sieben $\begin{align*} n \end{align*}$ Teilintervalle.

14.05.2020, 20:54

Mathe2r

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1/7 jeweils oder nicht ? Also dann 1/n?

14.05.2020, 20:57

Mathe2r

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oder k/n? bin voll verwirrt Big Laugh

14.05.2020, 20:58

Leopold

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Unterscheide Intervallbreite und Teilungspunkte!

Intervall $\begin{align*} [2020,2021] \end{align*}$ .
Dreiteilung: $\begin{align*} x_0=2020, \, x_1 = 2020 + \frac{1}{3}, \, x_2 = 2020 + \frac{2}{3}, \, x_3 = 2021 \end{align*}$

Das sind die Teilungspunkte. Die Intervallbreite der Teilintervalle ist $\begin{align*} \frac{1}{3} \end{align*}$ .

14.05.2020, 21:04

Mathe2r

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Also dann so :

x0=0
x1= 1/7
x2= 2/7
x3=3/7
x4=4/7 ...x7=1

xk= k/7 stimmts?

Dann in der Aufgabe xk= k/n=

14.05.2020, 21:09

Leopold

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So ist es.

$\begin{align*} 0 < \frac{1}{n} < \frac{2}{n} < \frac{3}{n} < \ldots < \frac{n-1}{n} < 1 \end{align*}$

So sieht die Zerlegung aus. Die Teilungspunkte sind also $\begin{align*} x_k = \frac{k}{n}, \ 0 \leq k \leq n \end{align*}$ . Für $\begin{align*} k=0 \end{align*}$ erhält man gerade den linken Randpunkt 0 des Gesamtintervalls, für $\begin{align*} k=n \end{align*}$ gerade den rechten Randpunkt 1.

Nur noch mal zum Festhalten: Was ist jetzt $\begin{align*} x_k \end{align*}$ und was ist $\begin{align*} \xi_k \end{align*}$ ? (Nicht wundern ...)

14.05.2020, 21:31

Mathe2r

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Also xk = \xi= k/n stimmts?
Nun muss ich das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! ln(x+1) \, dx \end{eqnarray*}$ berechnen oder ?

Ich komme da auf ln(4)-1..

14.05.2020, 21:40

Leopold

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Genau. In einer Riemannschen Summe verlangt man nur: $\begin{align*} \xi_k \in \left[x_{k-1}, x_k \right] \end{align*}$ . Es ist nicht verboten, daß $\begin{align*} \xi_k \end{align*}$ gerade der rechte Randpunkt ist.

Halten wir also fest:

$\begin{align*} f(x) = \ln(1+x) \end{align*}$

$\begin{align*} x_k = \xi_k = \frac{k}{n} \end{align*}$

Ausführlich: $\begin{align*} 0 < \frac{1}{n} < \frac{2}{n} < \ldots < \frac{n-1}{n} < 1 \end{align*}$ sind die Teilungspunkte.
Alle Teilintervalle haben die Breite $\begin{align*} \frac{1}{n} \end{align*}$ .

Für $\begin{align*} k=0 \end{align*}$ ergibt sich $\begin{align*} x_0 = 0 \end{align*}$ , für $\begin{align*} k=n \end{align*}$ ergibt sich $\begin{align*} x_n = 1 \end{align*}$ . Damit sind das unsere Intervallgrenzen: $\begin{align*} a=0, \, b=1 \end{align*}$ .

Du hast das Integral und damit den Grenzwert deiner Summe korrekt berechnet. Freude

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