Tangentialraum

Neue Frage »

15.05.2020, 09:56	yd010398	Auf diesen Beitrag antworten »
Tangentialraum Meine Frage: Hi, ich habe folgende Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} M\subseteq\mathbb{R}^{l} \end{eqnarray}$ eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit und $\begin{eqnarray} p_{0}\in M \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p\in\mathbb{R}^{l} \end{eqnarray}$ so gewält, dass $\begin{eqnarray} \|p-p_{0}\|\leq \|p-q\|\forall q\in M \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} p-p_{0}\in T_{p_{0}}M \end{eqnarray}$ gilt. Meine Ideen: Intuitiv ist mir klar, dass die Aussage gilt, ich habe allerdings keine Idee, wie ich den Beweis führen kann.
15.05.2020, 10:14	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentialraum Ich hätte jetzt vermutet, $\begin{eqnarray} p - p_0 \end{eqnarray}$ steht orthogonal zum Tangentialraum.
15.05.2020, 11:06	yd010398	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentialraum Ja stimmt es muss natürlich $\begin{eqnarray} p-p_{0}\in T_{p_{0}}M^{\perp} \end{eqnarray}$ sein.
15.05.2020, 11:49	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentialraum Also willst du zeigen, dass $\begin{eqnarray} \langle p- p_0, v\rangle = 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} v \in T_{p_0}M \end{eqnarray}$ . Nach Definition des Tangentialforms erfüllt $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ die folgenden Eigenschaften: ... Ich weiß nicht wie ihr Tangentialraum definiert habt. Aber damit würde ich starten und schauen was man benutzen kann. Ggf. ist es einfach per Widerspruch zu führen. Angenommen es gibt einen Vektor $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ , so dass das Skalarprodukt nicht 0 wird. Dann...
15.05.2020, 12:02	yd010398	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentialraum Wir haben den Tangentialraum als Menge der Geschwindigkeitsvektoren im Punkt 0 von glatten Kurven auf M, die im Punkt 0 den Wert $\begin{eqnarray} p_{0} \end{eqnarray}$ annehmen, definiert. Wenn wir also einen Geschwindigkeitsvektor einer Kurve betrachten, dann wären alle Punkte auf dieser Kurve weiter von $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ entfernt, als $\begin{eqnarray} p_{0} \end{eqnarray}$ . An der Stelle weiß ich allerdings nicht weiter...
15.05.2020, 12:23	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentialraum Allgemeiner und wichtiger Tipp: Gib Objekten Namen! Es gibt also eine Kurve $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ mit folgenden Eigenschaften: ... Hier bekommst du eine Beziehung von $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ . Die kannst du dann für das $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ in der zu zeigenden Gleichung mit dem Skalarprodukt nehmen. Dann kannst du schauen, ob du das umformen kannst oder z.B. die Definition einer Ableitung einsetzt.
Anzeige

15.05.2020, 12:55	yd010398	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentialraum [latex]\langle p-p_{0},\gamma'(0)\rangle=\langle p-p_{0},\lim_{h \to 0} \frac{\gamma(h)-p_{0}}{h}\rangle[/rangle] Mit der Bilinearität des Skalarprodukts kann man das jetzt noch auseinander ziehen, ich seh allerdings nicht wie mir das an der Stelle weiterhelfen soll
15.05.2020, 13:14	yd010398	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentialraum $\begin{eqnarray} \langle p-p_{0},\gamma'(0)\rangle=\langle p-p_{0},\lim_{h \to 0} \frac{\gamma(h)-p_{0}}{h}\rangle \end{eqnarray}$
16.05.2020, 16:25	yd010398	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentialraum Könntest du mir noch einen Tipp geben? Ich muss bis Dienstag meine Hausarbeit abgeben und es wäre schon wichtig, wenn ich die Aufgabe dafür noch lösen könnte
16.05.2020, 17:59	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentialraum Entschuldige, wurde bei mir etwas stressig gestern. Dafür habe ich einen Einzeiler für dich. Meine Idee war zu zeigen, dass wenn es nicht orthogonal zum Tangentialraum ist, man ein $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ konstruieren kann, was die gegebene Ungleichung nicht erfüllt. Der Beweis wäre so analog zum folgenden Satz geworden: $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ differenzierbar und in $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ minimal impliziert $\begin{eqnarray} f'(x_0) = 0 \end{eqnarray}$ . Diesen Satz kann man aber auch direkt benutzen, um die Aussage zu zeigen! Wir wissen, dass $\begin{eqnarray} g \colon M \to [0, \infty), \quad g(q) = \\| q - p\\|^2 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} q = p_0 \end{eqnarray}$ minimal wird.\ Jetzt reicht es den oberen Satz auf die Funktionen $\begin{eqnarray} f = g \circ \gamma \end{eqnarray}$ anzuwenden, wobei $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ wie oben definiert wurde.

Neue Frage »

Antworten »

Tangentialraum

Verwandte Themen