Von der Dichtefunktion zur Verteilung

15.05.2020, 18:52

ainacs

Von der Dichtefunktion zur Verteilung

Liebe Mathematik-Begeisterte!

Ich komme bei einer Aufgabe in Statistik nicht weiter.
Gegeben ist eine Dichtefunktion $\begin{eqnarray*} f(x,y) = 0.25 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0 \leq x \leq 2 \wedge 0 \leq y \leq 2 <br /> \end{eqnarray*}$ und sonst gilt: $\begin{eqnarray*} f(x,y) = 0 \end{eqnarray*}$ .
Zu bestimmen ist nun die Verteilungsfunktion.
Diese bekomme ich ja mit folgender Formel: $\begin{eqnarray*} F(x,y) = \int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y} \! 0.25 \, du dv \end{eqnarray*}$
Nun schaffe ich es nicht, die Grenzen richtig zu wählen. Wäre zum Beispiel $\begin{eqnarray*} 0 \leq x \wedge 0 \leq y \end{eqnarray*}$ die einzige Vorschrift, müsste ich, soweit ich das richtig verstehe, $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ersetzen. Aber wie verwerte ich in meinem Beispiel die $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ ?

lg ainacs

15.05.2020, 18:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von ainacs
Diese bekomme ich ja mit folgender Formel: $\begin{eqnarray*} F(x,y) = \int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y} \! 0.25 \, du dv \end{eqnarray*}$

Nein, das ist schon der erste Fehler: Tatsächlich lautet die Formel $\begin{eqnarray*} F(x,y) = \int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y} f(v,u) ~ \dd u ~ \dd v \end{eqnarray*}$ .

Man kann nicht so tun, als wäre die Dichte z.B. auch im negativen Argumentbereich gleich 0.25, das macht keinen Sinn. unglücklich

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Die Verteilungsfunktion ist für ALLE Paare (x,y) reeller Zahlen anzugeben. Fangen wir mit dem einfachen Fall an:

1) Was ist, wenn $\begin{eqnarray*} x\leq 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y\leq 0 \end{eqnarray*}$ gilt?

15.05.2020, 19:04

ainacs

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Ah! Ich verstehe!

Das heißt, ich wähle meine Integralgrenzen von vorne herein von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ ?

Also $\begin{eqnarray*} F(x,y) = \int_{0}^{2}\int_{0}^{2} \! 0.25 \, du dv \end{eqnarray*}$ , da sie ja sonst sowiso $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ergeben würde?

Aber das kann dann auch nicht ganz passen, da ich dann eine Zahl für die Verteilungsfunktion rausbekommen würde, oder?

Danke für die schnelle Antwort!

15.05.2020, 19:05

HAL 9000

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Nein, du verstehst nicht. Meinen Nachklapp zu oben hast du vermutlich noch nicht gelesen.

15.05.2020, 19:09

ainacs

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Zitat:

Original von HAL 9000

Die Verteilungsfunktion ist für ALLE Paare (x,y) reeller Zahlen anzugeben. Fangen wir mit dem einfachen Fall an:

1) Was ist, wenn $\begin{eqnarray*} x\leq 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y\leq 0 \end{eqnarray*}$ gilt?

Dann würde ich vermuten, dass das hier für die Verteilungsfunktion gilt:

$\begin{eqnarray*} F(x,y) = \int_{-\infty}^{0}\int_{-\infty}^{0} \! 0.25 \, du dv \end{eqnarray*}$

15.05.2020, 19:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von HAL 9000
Man kann nicht so tun, als wäre die Dichte z.B. auch im negativen Argumentbereich gleich 0.25, das macht keinen Sinn.

Ins Hirn scheint das nicht vorgedrungen zu sein. unglücklich

Ist $\begin{eqnarray*} x\leq 0 \end{eqnarray*}$ , dann gilt für all die $\begin{eqnarray*} v<x \end{eqnarray*}$ im Integrationsbereich $\begin{eqnarray*} f(v,u)=0 \end{eqnarray*}$ , ganz egal wie groß $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ ist.

Genauso für $\begin{eqnarray*} y\leq 0 \end{eqnarray*}$ , dann gilt für all die $\begin{eqnarray*} u<y \end{eqnarray*}$ im Integrationsbereich $\begin{eqnarray*} f(v,u)=0 \end{eqnarray*}$ , ganz egal wie groß $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ist.

D.h., in beiden Fällen haben wir $\begin{eqnarray*} F(x,y) = 0 \end{eqnarray*}$ , weil ausschließlich über Integrand 0 integriert wird.

2) Hier ist $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y>0 \end{eqnarray*}$ , und wir können beide untere Grenzen durch 0 ersetzen:

$\begin{eqnarray*} F(x,y) = \int\limits_0^x \int\limits_0^y f(v,u) ~ \dd u ~ \dd v \end{eqnarray*}$ .

Hier müssen wir uns dann weiter überlegen, was für $\begin{eqnarray*} 0<x\leq 2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x>2 \end{eqnarray*}$ passiert, genauso für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ .

15.05.2020, 19:23

ainacs

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Den ersten Teil hab ich verstanden, dass dann über 0 integriert wird.

Wenn ich den zweiten Teil nun richtig interpretiere, muss ich $\begin{eqnarray*} F(x,y) = \int_{0}^{x}\int_{0}^{y} \! 0.25 \, du dv \end{eqnarray*}$ berechnen und ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} G(x,y) = \int_{2}^{x}\int_{2}^{y} \! 0.25 \, du dv = 0 \end{eqnarray*}$ , wobei G jetzt eine Einschränkung von F ist.

Aber wie kann ich das verwenden, um die Verteilungsfunktion richtig anzuschreiben?

15.05.2020, 19:53

ainacs

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Oder reicht es dann, das Ergebnis wieder stückweise anzugeben?

Also
$\begin{eqnarray*} F(x,y) = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x,y \leq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x,y) = 0.25xy \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0 \leq x,y \leq 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x,y) = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x,y \geq 2 \end{eqnarray*}$

15.05.2020, 21:21

HAL 9000

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Mal langsam: Wir wissen $\begin{eqnarray*} f(v,u) = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} v>2 \end{eqnarray*}$ ODER $\begin{eqnarray*} u>2 \end{eqnarray*}$ . Wir können also all diese Integralanteile im Fall 2) ausschließen. Das kann man dort z.B. so machen:

$\begin{eqnarray*} F(x,y) = \int\limits_0^{\min(x,2)} \int\limits_0^{\min(y,2)} \frac{1}{4} ~ \dd u ~ \dd v = \frac{1}{4}\min(x,2)\cdot\min(y,2) \end{eqnarray*}$ ,

das bedeutet u.a. F(x,y)=1 für alle $\begin{eqnarray*} x\geq 2,y\geq 2 \end{eqnarray*}$ , nicht Wert 0 wie bei dir. unglücklich

Wenn man noch genauer nachdenkt, dann kann man letztlich die gesamte Verteilungsfunktion ohne Fallunterscheidung schreiben in dieser Weise:

$\begin{eqnarray*} F(x,y) = \frac{1}{4}\max(\min(x,2),0)\cdot\max(\min(y,2),0) \end{eqnarray*}$ .

[attach]51284[/attach]

15.05.2020, 21:47

ainacs

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Danke für deine ausführliche Erklärung und die schöne Grafik! Mit der Darstellung über die Minimumsfunktion bekommt man dann schön alle Werte zwischen 0 und 2 für spätere Zwecke.

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