Lineare Abbildung erkennen

15.05.2020, 21:27	Lissssa	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung erkennen Meine Frage: In meinem Skriptum finden sich 2 Sätze: 1) Sei $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ein Körper, und sei $\begin{eqnarray} A \in K^{n \times m} \end{eqnarray}$ . Dann ist die Abbildung $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ , die durch $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} K^{m} \rightarrow K^{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \longmapsto A \cdot x \end{eqnarray}$ definiert ist eine lineare Abbildung. 2) Seien $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ Vektorräume über $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ mit den Basen $\begin{eqnarray} B = (b_1,...,b_m) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C = (c_1,...,c_n) \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} m \times n \end{eqnarray}$ Matrix . Die Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} U \rightarrow V \end{eqnarray}$ bilde $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ auf jenes $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ , das durch $\begin{eqnarray} (y)_c = A \cdot (x)_B \end{eqnarray}$ gegeben ist, ab. Dann ist $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung Wie erkenne ich nun bereits im Vorfeld, dass es sich um eine lineare Abbildung handelt? Meine Ideen: Mir ist bewusst, dass die Additivität und Homogenität Bedingungen hierfür sind. Danke!
15.05.2020, 22:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
1) Einfach nachrechnen, es gelten die Regeln der Matrizenmultiplikation. 2) ist eine unmittelbare Folgerung aus 1).

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