Minimum einer Funktion

16.05.2020, 01:50

Dopap

Minimum einer Funktion

"fun with floor and ceil" Augenzwinkern

Von der Funktion

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R_+ \to \mathbb R \quad \text{mit} \quad x\mapsto x\lfloor x \rfloor +\lfloor 1/x \rfloor + x + 1/x + x\lceil x \rceil + \lceil 1/x \rceil \end{eqnarray*}$ ist das Minimum gesucht.
sei $\begin{eqnarray*} \quad x>1 \qquad \Rightarrow \end{eqnarray*}$

A1 $\begin{eqnarray*} \qquad x\lfloor x \rfloor +\lfloor 1/x \rfloor \geq x > 1 \end{eqnarray*}$
A2 $\begin{eqnarray*} \qquad x\lceil x\rceil + \lceil 1/x \rceil \geq 2x+1 > 3 \end{eqnarray*}$
A3 $\begin{eqnarray*} \qquad x+ 1/x > 2 \end{eqnarray*}$

A $\begin{eqnarray*} \quad \boxed{x>1 \Rightarrow f(x) > 6} \end{eqnarray*}$

sei $\begin{eqnarray*} \quad 1/2<x <1 \Leftrightarrow 1 < 1/x < 2 \qquad\qquad \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)= 1+x + 1/x + x +2 = 3 + \underbrace {2x + 1/x}_{:z} \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} z/2 \geq \sqrt{2x\cdot 1/x}=\sqrt 2 \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab} \end{eqnarray*}$ . Gleicheit folgt bei $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ woraus sich wiederum $\begin{eqnarray*} x=1/\sqrt2 \end{eqnarray*}$ ergibt und folglich ist
B $\begin{eqnarray*} \boxed {f(x) \geq 3+2\sqrt2 \approx 5.8 < 6} \end{eqnarray*}$

und mit $\begin{eqnarray*} f(1)=6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(0.5)=8<br /> \end{eqnarray*}$ folgt das Minimum:

$\begin{eqnarray*} f(x) \geq 3+2\sqrt2 \quad x \in (0, \infty ) \end{eqnarray*}$

hab' ich da etwas übersehen?

16.05.2020, 05:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
hab' ich da etwas übersehen?

Wenn du so fragst: Die Abschätzung für $\begin{eqnarray*} 0<x\leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ gehört der Vollständigkeit halber auch noch erwähnt. Die bloße Angabe des Funktionswerts $\begin{eqnarray*} f(0.5)=8 \end{eqnarray*}$ genügt ohne beispielsweise zusätzliche Monotoniebetrachtungen davor nicht.

Aber etwa $\begin{eqnarray*} f(x)\geq 6 \end{eqnarray*}$ per grober Abschätzung ist für diese $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ tatsächlich leicht zu erkennen. Augenzwinkern

18.05.2020, 01:06

Dopap

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etwas spät, aber ...

man sieht, dass links von 0.5 kein Min mehr ist. Augenzwinkern

18.05.2020, 09:50

Leopold

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Lieber Dopap!

Bei dir kann ich so Phasen ausmachen. Erst war es die Kreis-Rechteck-Dreieck-Phase, jetzt ist es die Boden-Decke-Phase. Ich bin gespannt, was als nächstes kommt. Manches, was du fragst, ist banal oder uninteressant (mein persönlicher Geschmack), aber manchmal sind richtig gute Sachen dabei. Freude

Wo hast du das alles her? Oder denkst du dir das selber aus?
Eine gleichbleibende Konstante ist natürlich das (bewußt?) unklare Sprechen, das immer wieder Interpretationsmöglichkeiten zuläßt. Verspürst du Lust, andere zu foppen? Aber das ist ja denkunmöglich. unglücklich

Du willst sie nur zum angeregeten Nachdenken anhalten, nicht wahr? Augenzwinkern

18.05.2020, 10:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von Leopold
Eine gleichbleibende Konstante ist natürlich das (bewußt?) unklare Sprechen, das immer wieder Interpretationsmöglichkeiten zuläßt. Verspürst du Lust, andere zu foppen?

Soweit würde ich nicht gehen. Aber sehr oft lässt Dopap bewusst eigentlich notwendige Dinge in der Problembeschreibung weg aus Furcht, damit schon zuviel Hinweise zur Lösung zu geben. Das sehe ich schon als oft wiederkehrendes Muster seiner Beiträge an - in der Boden-Decke-Phase bisher aber nicht.

Was übrigens sehr oft nach hinten losgeht, weil dieses Weglassen plötzlich Parameter-Unterräume eröffnet, an die Dopap vorher nicht gedacht hat, und die dann von bösen Gegenbeispielen erfolgreich attackiert werden...

Aber er hat immer eim offenes Ohr für entsprechende Hinweise, verschließt sich diesen nicht wie es bei manch anderen zu beobachten ist.

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