Reeller Hilbertraum

16.05.2020, 08:29	geome	Auf diesen Beitrag antworten »
Reeller Hilbertraum Meine Frage: Hat jemand ein Ansatz oder eine Idee wie man die Aufgabe lösen kann? Meine Ideen: wie kommt man denn auf den Punkt
16.05.2020, 10:34	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: reeller Hilbertraum Ich bin mir nicht sicher, aber ich halte das Ganze für ein Optimierungsproblem, wobei es darum geht, ein $\begin{eqnarray} z\in \text{Span} \{v_1,v_2,v_3\} \end{eqnarray}$ zu finden, das $\begin{eqnarray} y\notin \text{Span} \{v_1,v_2,v_3\} \end{eqnarray}$ möglichst genau approximiert. Vielleicht gibt es bessere Methoden, aber ausgehend von $\begin{eqnarray} f(x_1,x_2,x_3)=\left\\|y-\sum\limits_{k=1}^{3} x_kv_k\right\\| \end{eqnarray}$ würde ich einfach $\begin{eqnarray} \nabla f^2(x_1,x_2,x_3)=0 \end{eqnarray}$ setzen.
16.05.2020, 10:48	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonale Projektion von $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ auf den Teilraum $\begin{eqnarray} Span(v_1,v_2,v_3) \end{eqnarray}$ sollte das Problem lösen. (Gram-Schmidt ?)
16.05.2020, 15:52	geome	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den Hinweis. Leider weiss ich nicht, wie ich das anwenden kann.
16.05.2020, 17:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach Voraussetzung ist $\begin{eqnarray} U=\{v_1,v_2,v_3\} \end{eqnarray}$ bereits eine Orthonormalbasis eines 3-dimensionalen Untervektorraumes (deshalb habe ich Gram-Schmidt in Klammer mit Fragezeichen versehen). Nun musst du nur noch $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ orthogonal in $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ projizieren. Wie das geht, wird in Wikipedia ( https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalprojektion ) unter "Algebraische Darstellung" definiert und berechnet. Das einzige was du machen musst, ist Wiki- $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ ersetzen, fertig. Es handelt sich bei dieser Aufgabe um den einfachsten aller möglichen Fälle.
16.05.2020, 23:45	geome	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, dass hat sehr weitergeholfen. Wir haben dann: $\begin{eqnarray} P_{U}(y)=\sum\limits_{i=1}^{3} <y,v_{i}>v_{i} \end{eqnarray}$ also wäre dann: z= $\begin{eqnarray} P_{U}(y) \end{eqnarray}$ und das wars dann?
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17.05.2020, 06:44	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} P_U(y)\in U \end{eqnarray}$ ist ein Vektor im Hilbertraum. $\begin{eqnarray} z=(<y, v_1>,<y,v_2>,<y,v_3>)\in\mathbb R^3 \end{eqnarray}$ ist der gesuchte Punkt, an dem die Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ihr Minimum annimmt.
17.05.2020, 09:36	geome	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ja stimmt... vielen Dank für die Hilfe

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