Symmetrische Irrfahrt

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hello123 Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrische Irrfahrt
Meine Frage:
Hallo,
bei der folgenden Frage brauche ich eure Unterstützung:

Zeigen Sie, dass die symmetrische Irrfahrt -fast sicher unendlich oft zum Nullpunkt zurückkehrt.

Meine Ideen:
Leider habe ich noch gar keine Ansätze.
hello123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symmetrische Irrfahrt
Ergänzung:
Es geht um die symmetrische Irrfahrt als Summe mit Startpunkt . sind unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen. ist auf gleichverteilt.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehme an, es ist etwas Vorwissen zu Markov-Ketten vorhanden? Die symmetrische Irrfahrt ist ja eine spezielle homogene Markov-Kette. Bei der wird jeder rekurrente Zustand unendlich oft wieder besucht.

Es reicht daher aus nachzuweisen, dass der Zustand 0 rekurrent ist, und dafür wiederum ist der Nachweis hinreichend, dabei kennzeichnet die -Schritt-Übergangswahrscheinlichkeit von Zustand in Zustand .
hello123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, etwas Vorwissen zu Markov-Ketten ist vorhanden, aber könntest du mir beim Beweis auf die Sprünge helfen? Damit habe ich große Schwierigkeiten.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du denn schon dieses ausgerechnet? Das wäre der logisch erste Schritt, und denn kann man sich rein kombinatorisch überlegen. Sinnvoll sind dabei nur gerade , denn in einer ungeraden Anzahl Schritte landet man ja gewiss nicht im Nullpunkt.

P.S.: Ich merke gerade, dass ich folgendes gar nicht gefragt habe: Es geht doch um die eindimensionale Irrfahrt, oder? Denn auch für die zweidimensionale Irrfahrt hat man noch diese Rekurrenz (die dreidimensionale aber nicht mehr!).
hello123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schätze, dass es hier um die eindimensionale Irrfahrt geht. Mehr als das was ich angegeben habe, steht leider nicht in der Aufgabe.
Meinst du die Formel: ?
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau die meine ich, in meiner Terminologie bedeutet das ja . Du musst also nachweisen, dass die Reihe darüber divergiert. Dazu wäre eine geeignete Abschätzung des Binomialkoeffizienten nach unten sinnvoll, so dass man mit dem Minorantenkriterium agieren kann.
hello123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß leider überhaupt nicht, wie ich das anstellen soll. Kannst du mir den Beweis zeigen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann diesen Binomialkoeffizienten sehr genau nach beiden Seiten abschätzen mit Methoden, wie sie beim Wallisschen Produkt angewandt werden. Aber soweit müssen wir hier nicht ausholen, für die Dimensionen 1 und 2 genügt die grobe Abschätzung

,

die kann man noch ganz gut per Vollständiger Induktion nachweisen.


EDIT: Ich sehe gerade den anderen Thread

Kehrt die symmetrische Irrfahrt zum Startpunkt zurück?

bei dem wird euch empfohlen, das mit Stirling zu machen. Hmm, genau genommen braucht man dann aber einen "Stirling" mit Abschätzungen nach beiden Seiten, da im Binomialkoeffizienten Fakultäten in Zähler und Nenner stehen...

Ist übrigens schlecht, dass du so eng verwandte Fragen über mehrere Threads streust. smile
hello123 Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige, eigentlich folgt die Aufgabe hier nach der anderen Aufgabe. Bei beiden komme ich leider überhaupt nicht weiter. Wie würde man das mit der Stirling-Formel machen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, es ist ja , und dann setze ein!
hello123 Auf diesen Beitrag antworten »

Heißt das, ich muss jetzt die Stirling-Formel einsetzen? Wenn ja, wie setze ich das für ein?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hello123
Wenn ja, wie setze ich das für ein?

Meinst du das ernst? geschockt

Entschuldige bitte, aber "einsetzen üben" ist nicht gerade eine hochschulreife Frage. Aber gut, ausnahmsweise:

hello123 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt habe ich die Stirling-Formel eingesetzt und komme zusammengefasst auf . Ist das richtig? Was bringt mir das jetzt? Wie geht es weiter?
hello123 Auf diesen Beitrag antworten »

Bzw. noch weiter zusammengefasst, komme ich auf
Also kann durch abgeschätzt werden?
hello123 Auf diesen Beitrag antworten »

Dass die Reihe divergiert, ist mir jetzt auch klar. Ich verstehe nur noch nicht, was das zur Beantwortung der Frage hilft. verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn dir der Zusammenhang nicht klar ist, warum hast du dann nicht schon nach meinem Beitrag 11:55 diesbezüglich reagiert? unglücklich
hello123 Auf diesen Beitrag antworten »

Das tut mir leid. Reicht es aus, die Divergenz zu zeigen oder muss man bei der Aufgabe noch mehr machen? War das, was ich vorhin geschrieben habe, richtig?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja klar, die Divergenz basiert auf der der Reihe .

Und ich hatte angenommen, dass ihr die Zusammenhänge

Zitat:
Original von HAL 9000
Die symmetrische Irrfahrt ist ja eine spezielle homogene Markov-Kette. Bei der wird jeder rekurrente Zustand unendlich oft wieder besucht.

Es reicht daher aus nachzuweisen, dass der Zustand 0 rekurrent ist, und dafür wiederum ist der Nachweis hinreichend

in der Vorlesung kennengelernt habt. Das alles zu beweisen geht mir hier zu weit - man kann doch nicht bei jeder Markovkette wieder beim Urschleim anfangen - dazu sind Vorlesungen doch da.
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