Stetige Fortsetzung

16.05.2020, 13:57	Susanno95	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetige Fortsetzung Guten Tag zusammen, Ich habe Fragen zur folgenden Aufgabe Seien $\begin{eqnarray} f,g:\mathbb C \setminus0 -> \mathbb C \end{eqnarray}$ definiert durch (a) $\begin{eqnarray} f(z)=\frac{Re(z)}{\|z\|} \end{eqnarray}$ (b) $\begin{eqnarray} g(z)=\frac{Re(z)^2Im(z)}{\|z\|} \end{eqnarray}$ . Lassen sich f,g stetig auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ fortsetzen? Meins: Sei also $\begin{eqnarray} z=x+iy \end{eqnarray}$ . Dann für (a) $\begin{eqnarray} f(z)=\frac{Re(z)}{\|z\|}=\frac{Re(x+iy)}{\|x+iy\|}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{eqnarray}$ Hab jetzt Folgen $\begin{eqnarray} x_(n_1)=\frac{\sqrt{2}}{n} , y_(n_1)=\frac{\sqrt{2}}{n} , x_(n_2)=\frac{-\sqrt{2}}{n} ,y_(n_2)=\frac{\sqrt{2}}{n} \end{eqnarray}$ eingesetzt die jeweils $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty }=0 \end{eqnarray}$ eingesetzt $\begin{eqnarray} \frac{x_(n_2)}{\sqrt{x_(n_2)^2+y_(n_2)^2}} = \frac{\frac{-\sqrt{2}}{n}}{\sqrt{(\frac{-\sqrt{2}}{n})^2+(\frac{\sqrt{2}}{n})^2 }} = \frac{\frac{-\sqrt{2}}{n}}{\sqrt{\frac{4}{n^2} }} =\frac{\frac{-\sqrt{2}}{n}}{\frac{2}{n}}= \frac{-\sqrt{2}}{n}\frac{n}{2}=\frac{-\sqrt{2}}{2}= -\frac{1}{\sqrt{2} } \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{x_(n_1)}{\sqrt{x_(n_1)^2+y_(n_1)^2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{n}}{\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{n})^2+(\frac{\sqrt{2}}{n})^2 }} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{n}}{\sqrt{\frac{4}{n^2} }} =\frac{\frac{\sqrt{2}}{n}}{\frac{2}{n}}= \frac{\sqrt{2}}{n}\frac{n}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}= \frac{1}{\sqrt{2} } \end{eqnarray}$ Da kommen jeweils verschiedene Grenzwerte raus , obwohl alle folgen gegen 0 konvergieren also nicht stetig in den Punkt also nicht stetig fortsetzbar in 0. (b) habt ihr da Ideen? Ich habe mal z.b für $\begin{eqnarray} x_n=\frac{1}{n} , y_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ eingesetzt dann kommt $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{2}}{n^2} \end{eqnarray}$ konvergiert gegen 0 , und auch mal $\begin{eqnarray} x_n=\frac{1}{n^2} , y_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ dann bekomme ich $\begin{eqnarray} \frac{1}{n\sqrt{1+n^2}} \end{eqnarray}$ raus mit grrenzwert 0 würde also sagen es lässt sich stetig fortsetzen aber wie macht man das Formal das ist ja nur ne Vermutung meinerseits danke im vorraus, bin für jede Hilfe dankbar
16.05.2020, 18:07	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetige Fortsetzung Das passt soweit. Um deine Vermutung zu zeigen, musst du zeigen, dass $\begin{eqnarray} g(x,y) = \frac { x^2 y} { \sqrt{x^2 + y^2} } \to 0 \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} x,y \to 0 \end{eqnarray}$ . Zeige hierfür, dass die klassische Ungleichung $\begin{eqnarray} 2\|xy\| \leq x^2 + y^2 \end{eqnarray}$ ist. Damit kannst du $\begin{eqnarray} \| g(x,y)\| \end{eqnarray}$ nach oben abschätzen mit einer oberen Schranke, welche "offensichtlich" gegen 0 konvergiert.

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