Zusammenhängend/Zusammenhängende Gebiete

16.05.2020, 15:46	Susanno95	Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenhängend/Zusammenhängende Gebiete Guten Tag, Ich soll in Funktionentheorie folgende Aufgaben machen: Aufgabe 1 Zeigen sie die folgenden Aussagen: (a) Die Menge $\begin{eqnarray} D=\left\{{z \in \mathbb C : \|z-i\overline{z}\|<1}\right\} \end{eqnarray}$ ist zusammenhängend. (b) Ist $\begin{eqnarray} G \subset \mathbb C \end{eqnarray}$ ein Gebiet und $\begin{eqnarray} a \in G \end{eqnarray}$ so ist auch $\begin{eqnarray} G \setminus \left\{ a \right\} \end{eqnarray}$ ein Gebiet. Aufgabe 2 (a) Überprüfen sie welche der folgenden Mengen zusammenhängend sind: (i) $\begin{eqnarray} M_1=\left\{ z \in \mathbb C : \| z \|=1 \right\} \end{eqnarray}$ (ii) $\begin{eqnarray} M_2=\mathbb Q \times \mathbb Q \end{eqnarray}$ (b) Sei $\begin{eqnarray} M \subset \mathbb C \end{eqnarray}$ und sei $\begin{eqnarray} f: M -> \mathbb C \end{eqnarray}$ stetig. Zeigen oder Widerlegen sie , das heißt Beweisen oder finden sie ein Gegenbeispiel: (iii) M zusammenhängend $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(M) \end{eqnarray}$ ist zusammenhängend. (iv) $\begin{eqnarray} f(M) \end{eqnarray}$ zusammenhängend $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ ist zusammenhängend. Meine Ideen: Im Script haben wir folgende Sätze: 1 .Jedes Offene/Abgeschlossene Intervall in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ist zusammenhängend. 2. Ein Raum X heißt wegzusammenhängend, wenn es zu jeden zwei Punkten $\begin{eqnarray} p,q \in X \end{eqnarray}$ einen Weg $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ in X mit Anfangspunkt p und Endpunkt q gibt. Jeder wegzusammenhängende Raum x ist Zusammenhängend. Zur Aufgabe 1a : Es ist würde ich sagen offen, aber was bringt mir das was? $\begin{eqnarray} \|z-i\overline{z}\|=\|x+iy-i(x-iy)\|=\|x+iy-(ix-i^2y)\|=\|x+iy-ix+i^2y\|=<br /> \|x+iy-ix-y\|=\|x-y +i(y-x)\|=\sqrt{(x-y)^2+(y-x)^2} = \sqrt{x^2-2xy+y^2+y^2-2xy+x^2}=\sqrt{2x^2+2y^2-4xy}=\sqrt{2(x^2+y^2-2xy)}=\sqrt{2(x-y)^2}=\sqrt{2}(x-y) \end{eqnarray}$ b) Keine ahnung , es macht ja keinen unterschied ob man einen Punkt einfach rausnimmt oder? es hängt ja immer noch zusammen(da a ja von G) umschlossen ist. Aufgabe 2 (a) (I) M1 ist abgeschlossen also zusammenhängend, da man ja eine Kugel mit radius >1 findet sodass m1 drin liegt.?? (ii) Q ist ja weder offen noch abgeschlossen, laut Vorlesung. wie sieht es dann mir $\begin{eqnarray} QxQ \end{eqnarray}$ aus? (b) Das script ist auch die reinste katastrophe da steht nicht viel drin...

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