Diagonalisierbarkeit Matrix mit zwei Parametern |
| 16.05.2020, 19:09 | cheerleader | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Diagonalisierbarkeit Matrix mit zwei Parametern Aufgabe: Sei K ein Körper. Sei Sei A := (1 a) [eine 2x2 Matrix soll das sein]. (0 b) Für welche Werte a, b ? K ist A diagonalisierbar über K? Meine Ideen: Mein Ansatz war folgender: Habe ermittelt, dass es zwei Eigenwerte gibt nämlich 1 und b. [Das a "kürzt" sich bei der Eigenwertbestimmung raus.] Für den Fall, dass b ungleich 1 ist, haben wir somit zwei /verschiedene/ Eigenwerte. Nun gilt, dass die Anzahl der Eigenwerte immer kleiner gleich der Dimension des Vektorraums ist. Da eine 2x2 Matrix maximal die Dimension zwei haben kann und wir zwei versch. Eigenwerte haben, greift ein Korollar aus dem Skript - wir haben so viele versch. Eigenwerte wie unser Vektorraum Dimensionen hat, daraus folgt, dass die matrix diagonalisierbar ist für b ungleich 1 und a beliebig. ABER irgendwie hab ich ein schlechtes Gefühl dabei, das fühlt sich falsch an und mir fehlt eine bessere Idee das zu zeigen. Hat jemand Tipps? |
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| 16.05.2020, 19:30 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » |
Und was ist mit b=1? Ist die Matrix dann nicht diagonalisierbar? |
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| 16.05.2020, 19:53 | cheerleader | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hmm, die Matrix ist auch für b=1 diagonalisierbar sofern a=0 ist? Weil die Matrix dann symmetrisch ist? |
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| 16.05.2020, 21:35 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nicht nur symmetrisch, sie liegt sogar direkt in Diagonalform vor. Was bleibt ist die Begründung, weshalb die Matrix für b=1 und nicht diagonalisierbar ist. |
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| 17.05.2020, 15:56 | cheerleader | Auf diesen Beitrag antworten » |
Weil ich dann nur einen Eigenvektor finde? Und dieser nicht reicht um eine Basis zu bilden? |
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| 17.05.2020, 20:38 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die entscheiden Frage ist, wie ihr die Diagonalisierbarkeit definiert habt und welche Sätze Du dazu kennst. Am besten erscheint mir hier das Argument, dass geometrische Vielfachheit und algebraische nicht übereinstimmen. Wenn Dir diese Begriffe aber nichts sagen, dann musst Du Dich auf die Definition beziehen und z.B. zeigend, dass es keine invertierbare Matix gibt, die erfüllt. |
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