Beweis unklar

16.05.2020, 21:03

mcR2

Beweis unklar

Meine Frage:
Hallo alle zusammen. Mir ist dieser Beweis unklar kann mir den jemand erklären bitte ?

Meine Ideen:
Leider unklar.

16.05.2020, 21:08

HAL 9000

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Ich verstehe deine Terminologie nicht: Einerseits ist $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ wohl die Definitionsmenge deiner Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , andererseits ist $\begin{eqnarray*} D(\ldots) \end{eqnarray*}$ irgendeine mengenwertige Funktion...

Ich brauche mehr Kontext, um beurteilen zu können, was da steht. Überhaupt: Da es um einen Beweis geht wäre es sicher sinnvoll zu erfahren, was die Behauptung ist. Forum Kloppe

16.05.2020, 21:56

McR2

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Hey Hal. Sorry hast Recht!

16.05.2020, 22:21

HAL 9000

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Eigentlich hatte ich auch zu der ungewöhnlichen Bezeichnungsweise $\begin{eqnarray*} D(\ldots) \end{eqnarray*}$ noch eine Klärung erwartet, aber anscheinend ist damit einfach das Urbild gemeint, d.h.

$\begin{eqnarray*} D(f>c) := \left\{\omega\in D:\; f(\omega)>c\right\} = f^{-1}\left((c,\infty)\right)\qquad (*) \end{eqnarray*}$

und ähnlich bei den anderen Termen. Irgendwie schon sehr gewöhnungsbedürftig, es auf so eine Symbolkollision mit der Definitionsmenge ankommen zu lassen. Aber ich lass mich mal drauf ein, auch wenn ich es dämlich finde...

Die Definition des wesentlichen Supremums $\begin{eqnarray*} c=\operatorname{ess}\sup\limits_{x\in D} f(x) \end{eqnarray*}$ besagt, dass für alle $\begin{eqnarray*} t>c \end{eqnarray*}$ ja $\begin{eqnarray*} \mu\left( D(f>t)\right) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt. In deinem Beweis wird das nun für alle $\begin{eqnarray*} t=c+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ genutzt, damit ist auch

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \mu\left( D\left(f>c+\frac{1}{n}\right)\right) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Bleibt nur noch die anfängliche Mengengleichheit $\begin{eqnarray*} D(f>c) = \bigcup_{n=1}^{\infty} D\left(f>c+\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$ , und die folgt unmittelbar aus der D(...)-Definition (*).

16.05.2020, 22:34

McR2

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Sorry, aber ja du hast Recht. Ich werde mir das mal gründlich durchlesen. Danke schon einmal

16.05.2020, 23:11

McR2

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Also folgt die Behauptung wegen:

$\begin{eqnarray*} f(x)<= ess sup f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x<= f^{-1}( ess sup f(x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x <= D( f< ess sup f(x) ) \end{eqnarray*}$

Oder ist das unfug was ich mache verwirrt

16.05.2020, 23:24

HAL 9000

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D.h., du willst den vorliegenden Beweis links liegen lassen, und durch eine viel einfachere Version ersetzen? Weil die Autoren des Beweises überkompliziert gedacht haben?

Dazu mal eine Frage: Was meinst du mit deinem Ausgangspunkt

Zitat:

Original von McR2
$\begin{eqnarray*} f(x)<= ess sup f(x) \end{eqnarray*}$

Soll das für ALLE x gelten??? Dann hast du "ess sup" nicht verstanden - schau dir die Definition bzw. Beispiele dazu an.

16.05.2020, 23:52

McR2

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Nein natürlich nicht für alle x, sondern für das x, das

u(D( f(x)>c) )=0 zum ersten mal erfüllt. Also nehmen wir an wir haben eine Menge mit den ganzen x, die die Gleichung u(D(f(x)>c))=0 erfüllen, dann nehme ich das kleinste x, das die Gleichung erfüllt.

Eigentlich wollte ich keinen neuen Beweis anfangen. Ich versuche irgendwie den Beweis zu verstehen. Weswegen gilt denn die letzte Folgerung?

17.05.2020, 09:26

HAL 9000

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Das muss wohl jemand anderes machen, weil ich das oben ja alles schon erzählt habe. Es ist eben einfach unumgänglich, dass du dir die Definition von "ess sup" auch mal wirklich anschaust.

17.05.2020, 11:10

McR2

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Ich habe mir die Definitionen mehrmals angeschaut und auch das was du geschrieben hast habe ich mehrmals durchgelesen:

„ Die Definition des wesentlichen Supremums c=esssup x∈Df(x) besagt, dass für alle t>c ja ¼(D(f>t))=0 gilt.“

Okay, wenn du keine lust hast werde ich es alleine versuchen. Ich danke dir trotzdem.

17.05.2020, 12:14

mcR2

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Hallo an alle.

Ich kann nicht verstehen wieso aus:

$\begin{eqnarray*} u( D( f> \text{ess sup}_{x \in D} f(x)) ) =0 \end{eqnarray*}$ ,

die Behauptung folgt.

Ich habe mir alles von Hal9000 gründlich durchgelesen (Danke nochmal!) und ich denke ich verstehe es auch. ich habe mir auch die Definition des wesentlichen supremums mehrmals durchgelesen, also ich versuche wirklich den Beweis zu verstehen.
Im Beweis kann ich auch jeden Schritt nachvollziehen, außer die letzte Folgerung..

17.05.2020, 12:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von mcR2
Ich kann nicht verstehen wieso aus:

$\begin{eqnarray*} u( D( f> \text{ess sup}_{x \in D} f(x)) ) =0 \end{eqnarray*}$ ,

die Behauptung folgt.

Es sieht so aus, als hast du dich auch mit anderen Begriffen hier nicht genügend befasst: Was bedeutet denn dieses $\begin{eqnarray*} \mu-\mbox{f.ü.} \end{eqnarray*}$ per Definition? Wenn du das nämlich nachschlägst siehst du, dass die Formel oben der Definition von " $\begin{eqnarray*} f\leq \operatorname{ess}\sup\limits_{x\in D} f(x)\quad \mu-\mbox{f.ü.} \end{eqnarray*}$ " entspricht: Die Ausnahmemenge, wo das eben nicht gilt, darf nur $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ -Maß Null haben!

Der Großteil dieser Beweise beruht nicht auf Genialität, sondern dass man sich einfach mal auf den Hosenboden setzt und die Definitionen auch wirklich durchdenkt statt sie nur oberflächlich zu lesen.

17.05.2020, 13:00

mcR2

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Also, auf $\begin{eqnarray*} D( f > \text {ess sup}_{x \in D} f(x) ) \end{eqnarray*}$ gilt die Behauptung nicht, aber da diese Menge eine Nullmenge ist passt das schon.
Jetzt muss ich doch zeigen, dass es eine Menge gibt, wo die Behauptung gilt oder nicht ??

17.05.2020, 13:21

HAL 9000

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Arghhhhh .... die Behauptung ist, dass die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ -fast überall gilt. Wenn wir also zeigen, dass die Menge, auf der die Ungleichung nicht gilt, eine $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ -Nullmenge ist, DANN SIND WIR FERTIG. Forum Kloppe

17.05.2020, 13:31

mcR2

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Ahhh jetzt hat es klick gemacht Big Laugh

Jetzt habe ich es ernsthaft verstanden! Vielen Dank!
und sorry, dass ich so anstrengend war. Ich kann verstehen, wie du dich fühlst Ups

Nochmal Herzlichen Dank für deine Mühe und deine Geduld! Herz

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