Konvergenz untersuchen mit Epsilon-Kriterium

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Jartyyyyy Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz untersuchen mit Epsilon-Kriterium
Guten Abend,

ich bin jetzt schon einige Stunden dran, aber irgendwie wird das Thema für mich immer abstrakter...

Es geht um die Untersuchung vom Konvergenzverhalten von Folgen mit der Definition des Grenzwertes und dem Epsilon-Kriterium.

Das "normale" Abschätzen klappt super, aber bei dem Beweis hapert es dann leider.

Aufgabe:
Meine Abschätzung lautet 1/4. Das habe ich durch ausklammern und identifizieren von Nullfolgen geschätzt. Leider muss ich das aber noch richtig beweisen.

Vorgehen muss ich dann wie folgt:


In den blauen Teil eingesetzt sieht es dann so aus:


Um zu beweisen, dass die Folge gegen 1/4 konvergiert, muss ich die Ungleichung vereinfachen und mein Epsilon in ein Verhältnis mit n bringen. Bedeutet das, ich muss die Ungleichung nach n umstellen und dann schauen, ob die erhaltene Ungleichung für alle positiven Epsilons noch passt? Und wenn das so ist, ist die Konvergenz bewiesen?
Leider fällt mir dieser letzte Schritt schwer, vielleicht stehe ich sogar beim Vereinfachen auf dem Schlauch. Ich würde mich über einen kleinen Schubser in die richtige Richtung freuen! smile
p-epsi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Bedeutet das, ich muss die Ungleichung nach n umstellen...


Zunächst mal ist nach oben abschätzen oder ggf. vorher noch vereinfachen angesagt.
Auf was kommst du da ?

Zur Existenzbestätigung für dein passendes n, erwähne an geeigneter Stelle in jedem Fall das Archimedische Axiom.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jartyyyyy
Bedeutet das, ich muss die Ungleichung nach n umstellen

Ohne vorherige Abschätzung des Folgenterms durch einen "einfacheren" Term in kannst du das voll vergessen, dazu ist der Term viel zu komplex (p-epsi hat ähnliches erwähnt). Es verlangt ja auch gar niemand eine wirkliche Ungleichungslösung - ein häufiges Missverständnis bei diesen --Betrachtungen.


Nun zur eigentlichen Abschätzung. Dazu trennt man den Grenzwert erstmal ab: .

Für alle ist offensichtlich , d.h. negative sind schon mal ausgeschlossen, was die Sache vereinfacht. Es muss also "nur" noch für jedes ein passenden angegeben werden, so dass für alle gilt. Und da kann man schön grob mit dem Holzhammer abschätzen

, gültig für alle .

Das bedeutet: ist hinreichend für , und bei Wahl von ist ja ersteres tatsächlich für alle erfüllt - fertig.
sunday Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Dazu trennt man den Grenzwert erstmal ab


Muss man das eigentlich zwingend tun oder geht es mit 8n²+2-4n>8n²-4n=4n(2n-1)>0 für alle n auch so:



Mit würde dann doch nach Archimedischem Axiom für jedes Epsilon ein passendes natürliches existieren, so dass stets erfüllt ist.

Passt das so ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sunday

Diese Abschätzung ist aber sowas von falsch, sie gilt tatsächlich NUR für , und ist für alle FALSCH - setz einfach mal ein paar links und rechts ein!!! geschockt


Das Problem ist, dass du völlig verkannt hast, dass der Term links unter dem Betrag für alle NEGATIV ist - du hast also lediglich abgeschätzt, dass der Term OHNE Betrag ist, was der Negativität wegen auch kein Wunder ist. unglücklich

Eben um diese Art grottiger Irrtümer auszuschließen ist ja die Rückführung auf eine Nullfolge durch eine solche Differenzbildung übersichtlicher. Augenzwinkern
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