Teilbarkeit

17.05.2020, 16:13

Taylor12

Teilbarkeit

Meine Frage:
Für teilerfremde x,y zeige man, dass für alle natürlichen Zahlen z folgende Aussagen äquivalent sind:
1) $\begin{eqnarray*} x+y \end{eqnarray*}$ Ist Teiler von $\begin{eqnarray*} x^{2}+z\cdoty^{2} \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} x+y \end{eqnarray*}$ teilt $\begin{eqnarray*} z+1 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mir fehlt leider jeglicher Ansatz

17.05.2020, 16:18

HAL 9000

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Zwei Tipps:

a) $\begin{eqnarray*} x^2+zy^2 = (x+y)(x-y) + (z+1)y^2 \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} 1 = \operatorname{ggT}(x,y) = \operatorname{ggT}(x+y,y) \end{eqnarray*}$

17.05.2020, 16:37

Taylor12

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1) $\begin{eqnarray*} (x+y)(x-y)+y^{2}(z+1) \end{eqnarray*}$ wird durch $\begin{eqnarray*} x+y \end{eqnarray*}$ geteilt, wenn $\begin{eqnarray*} z+1 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} x+y \end{eqnarray*}$
teilbar ist, da dann beide Summanden durch $\begin{eqnarray*} x+y \end{eqnarray*}$ teilbar sind. Reicht das schon aus oder muss ich Zusätzlich auch noch beweisen, dass aus Aussage 2 die erste Aussage folgt?

17.05.2020, 16:59

HAL 9000

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Das reicht aus für den Nachweis $\begin{eqnarray*} 1)\Leftarrow 2) \end{eqnarray*}$ , ja.

Tipp b) bezieht sich auf die andere Richtung $\begin{eqnarray*} 1)\Rightarrow 2) \end{eqnarray*}$ , bei der aber auch a) wieder eine Rolle spielt.

17.05.2020, 17:11

Taylor12

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Hab probiert bei sowas noch nie den ggt als Hilfsmittel benutzt. Ich hab leider keinen Weg gefunden diesen einzubinden.
Ich habe etwas anderes probiert, aber am Ende bemerkt dass es ja nicht wahr ist zu sagen, dass mithilfe von tipp a) beide summanden durch x+y teilbar sein müssen oder?

17.05.2020, 17:14

HAL 9000

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Die folgende grundlegende Eigenschaft der Teilbarkeit ganzer Zahlen kennst du wohl nicht?

Zitat:

Sind $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ teilerfremd, so folgt aus $\begin{eqnarray*} u \mid (v\cdot w) \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} u\mid w \end{eqnarray*}$

Und um überüberdeutlich zu werden, führe ich b) mal noch etwas weiter:

b) $\begin{eqnarray*} 1 = \operatorname{ggT}(x,y) = \operatorname{ggT}(x+y,y) = \operatorname{ggT}(x+y,y^2) \end{eqnarray*}$

17.05.2020, 17:17

Taylor12

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Der Satz ist mir durchaus bewusst, aber ich sehe nicht wo ich ihn anwenden soll

17.05.2020, 17:20

HAL 9000

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Aus 1) folgt via $\begin{eqnarray*} (z+1)y^2 = (x^2+zy^2)-(x+y)(x-y) \end{eqnarray*}$ zunächst, dass $\begin{eqnarray*} (x+y) \mid (z+1)y^2 \end{eqnarray*}$ gilt.

Und, immer noch keine Erleuchtung?

17.05.2020, 17:55

Taylor12

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Wenn das so geht ist alles klar, bis dahin bin ich schon gekommen. Ich habe nur nicht auf die Teilbarkeit von (z+1)*y^2 durch x+y schließen können

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