Punktweise und gleichmäßige Konvergenz

17.05.2020, 18:04

SM!LE

Punktweise und gleichmäßige Konvergenz

Guten Tag,

ich sitze seit einiger Zeit an einer Aufgabe und komme nicht so recht weiter.
Ich würde mich über hilfereiche Tipps sehr freuen.

Aufgabe a)

Gegeben war folgenden Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f_n(x)=\frac{1+nx+n^2x^2}{1+n^2x^2}~~~x\in\lbrack 0,1 \rbrack<br /> \end{eqnarray*}$

Zunächst sollte gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ punktweise auf $\begin{eqnarray*} \lbrack 0,1 \rbrack \end{eqnarray*}$ konvergiert und die Grenzfunktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ sollte berechnet werden.

Mein Lösungsweg:

$\begin{eqnarray*} f_n(x)=\frac{1+nx+n^2x^2}{1+n^2x^2}=\frac{x}{n+\frac{1}{n}}+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=\lim_{n\to\infty}~f_n(x)=\lim_{n\to\infty}~\frac{x}{n+\frac{1}{n}}+1\overset{(1)}{=}1 \end{eqnarray*}$

(1): Grenzwertsätze konvergenter Folgen

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ konvergiert auf $\begin{eqnarray*} \lbrack 0,1 \rbrack \end{eqnarray*}$ punktweise gegen die Grenzfunktion $\begin{eqnarray*} f(x)=1 \end{eqnarray*}$ .

Aufgabe b)

Nun sollte für die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ aus Aufgabenteil a) die gleichmäßige Konvergenz gezeigt werden.

Mein Lösungsweg:

Wir wählen ein $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{N}<\epsilon \end{eqnarray*}$ .

Für alle $\begin{eqnarray*} n>N \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} \Big |~f_n(x)-f(x)~\Big |=\Big |~\frac{x}{n+\frac{1}{n}}+1-1~\Big |\overset{(2)}{=}\frac{x}{n+\frac{1}{n}}<\frac{x}{n}\overset{(3)}{\leq}\frac{1}{n}<\frac{1}{N}<\epsilon \end{eqnarray*}$

(2): Folgt aus $\begin{eqnarray*} x\in\lbrack 0,1 \rbrack \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .
(3): Folgt aus $\begin{eqnarray*} x\in\lbrack 0,1 \rbrack \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow~f_n(x) \end{eqnarray*}$ konvergiert gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ .

Aufgabe c)

Gegeben war nun folgende Funktionenfolge:

$\begin{eqnarray*} f_n(x)=n^2x\cdot e^{-nx} \end{eqnarray*}$

Ich soll nun zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ punktweise gegen $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ konvergiert.
Bei der Grenzwertbetrachtung erhalte ich ja aber $\begin{eqnarray*} \infty / \infty \end{eqnarray*}$ .

An dieser Stelle stehe ich ein wenig auf dem Schlauch und komme nicht wirklich weiter.

Könntet ihr über meine Lösungswege bei a) und b) schauen und mir einen Tipp für Aufgabe c) geben?

Vielen Dank im Voraus.

Mit freundlichen Grüßen
SM!LE

17.05.2020, 18:54

HAL 9000

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a) Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{1+nx+n^2x^2}{1+n^2x^2} = \frac{x}{n{\color{red}x^2}+\frac{1}{n}}+1 \end{eqnarray*}$ .

b) Speziell gilt übrigens $\begin{eqnarray*} f_n\left(\frac{1}{n}\right) = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ .

17.05.2020, 19:01

SM!LE

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Oh stimmt. Da ist mir das $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ verloren gegangen.
Danke smile

Das ändert ja aber an der Grenzfunktion nichts.
Sind a) und b) sonst soweit von der Herangehensweise in Ordnung oder hab ich da einen Fehler drin?

Hast du noch einen Tipp für Aufgabe c)?

17.05.2020, 19:03

HAL 9000

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a) kann gerettet werden, aber du hast wohl nicht kapiert, was ich zu b) geschrieben habe:

Das ist der Todesstoß für die gleichmäßige Konvergenz!

17.05.2020, 19:23

SM!LE

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Entschuldige bitte.
Ich hatte meine Antwort geschrieben, während du deine Antwort bearbeitet und die Anmerkung zu b) eingefügt hattest.

Da ich das $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ vergessen hatte ist b) natürlich auch nicht korrekt.

17.05.2020, 19:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von SM!LE
Ich hatte meine Antwort geschrieben, während du deine Antwort bearbeitet und die Anmerkung zu b) eingefügt hattest.

An sich hatte ich nur meinen beiden Zeilen die Zuordnung a) und b) vorn angefügt - der eigentliche Inhalt war von Anfang an da.

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