Zahlentheorie

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Zahlentheorie
Meine Frage:
Man ermittle alle ganzen zahlen a,b,c,d mit 1<a<b<c<d mit der Eigenschaft, dass durch teilbar ist.

Meine Ideen:
Wie geht man hier am besten ran
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Untersuchung modulo 2,3,5,7,... ergibt vielleicht schon das Resultat, dass keine Lösung existiert. Weißt du etwas mehr, hast du Lösungen, wie kommst du auf die Frage?
Zahlentheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Ist eine Aufgabe aus der Matheolympiade (531236). Stand ursprünglich im Titel hat aber wohl jemand entfernt. Das Ergebnis ist mir leider nicht bekannt. Ich habe eine ganze Weile mit der Aufgabe gekämpft und wollte nun um ein paar kleine Hilfestellungen bitten
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mit Kongruenzrechnung, d.h. modulo 2,3,... etwas anfangen? Ich würde es jedenfalls erst einmal damit probieren, mehr habe ich im Moment nicht zu bieten.
Was ist denn bei deinen langwierigen Kämpfen heraus gekommen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachten wir , dann ist laut Aufgabenstellung ganzzahlig. Offenbar muss sein.

Falls eine der vier Zahlen ungerade ist, dann ist gerade, und damit müssen alle vier ungerade sein. Der andere Fall ist logischerweise, dass alle vier gerade sind.

Im weiteren Verlauf ist diese Aufgabe ein Geduldsspiel an diversen Fallunterscheidungen und dann pro Fall zugeschnittenen Abschätzungen, exemplarisch mal

Fall 1:

Das führt zu , Widerspruch.

Fall 2:

Da haben wir , das bedeutet .

....

Hat man sich da durchgekämpft, bleiben am Ende zwei -Quadrupel als Lösungen übrig:

mit
mit
Zahlentheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Kommt man auf die Lösungspaare lediglich durch probieren? Wenn d=255 Kann man sich ja denken wie lange das dauern muss...
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du damit meinst, dass man alle ungeraden Zahlen bis 255 "durchprobiert" hat: Nein

Aber ein gewissen Maß an Handarbeit ist bei diesem Lösungsweg nötig, eine doch beträchtliche Anzal an Unterfällen ist zu untersuchen (hab nicht genau durchgezählt, es müssen so ca. 10 sein). Du kannst dir gern etwas edleres, besser anzuschauendes überlegen. Augenzwinkern


Noch mehr Details:

Man weist in den jeweils noch übrig bleibenden Fällen jeweils ähnlich wie in Fall 1 per Abschätzung nach, dass große ab einer gewissen Schranke unmöglich sind. Die verbleibenden untersucht man dann per Einzel-Unterfällen. In jedem dieser Unterfälle bestimmt man dann die noch passenden , das sind in den allermeisten dieser Unterfälle gar keine (hier kommen dann elementare zahlentheoretische Betrachtungen ins Spiel - endlich, möchte ich mal sagen).


P.S.: Für eine Landesrundenaufgabe hat die schon ein ganz beachtliches Niveau. Ich könnte mir vorstellen, dass die Erfolgsquote damals recht überschaubar war. Mit den oben schon angerissenen vielen Klein-Kleinrechnungen kann man da schon einige Zeit in so einer Klausur verdaddeln (TR sind ja meines Wissens nach ja nicht erlaubt!), selbst wenn man den Dreh raus hat. Vermutlich gibt es einen Weg, bei dem das nicht nötig ist, zumindest nicht in dem Umfang. verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich versuche es mal weitgehend vollständig darzustellen, auch wenn es unschön aussieht - aber Hauptsache, es klappt.

Betrachten wir , dann ist laut Aufgabenstellung ganzzahlig. Offenbar muss sein.

Falls mindestens eine der vier Zahlen ungerade ist, dann ist gerade, und damit müssen alle vier ungerade sein. Der andere Fall ist logischerweise, dass alle vier gerade sind. Nun folgt eine vollständige Fallunterscheidung hinsichtlich und unter Nutzung dieser kompletten Geradheit/Ungeradheit (ich dreh mal die Fallreihenfolge gegenüber oben um, in die eher gewohnte "aufsteigende Weise):


Fall 1 : Hier ist . Außerdem ist aber auch noch , daher ist .

Fall 1.1 : Führt zu , umgestellt (prim) mit einziger Lösung .

Fall 1.2 : Führt zu , unlösbar (modulo 3).

Fall 1.3 : Führt zu , Widerspruch.


Fall 2 :

Für alle haben wir , das bedeutet . Für bedeutet das .

Fall 2.1 : Führt zu , umgestellt (prim) mit der einzigen Lösung .

Fall 2.2 : Führt zu , unlösbar (modulo 3).

Fall 2.3 : Führt zu , umgestellt (prim), unlösbar.

Fall 2.4 : Hier ist , Widerspruch.


Fall 3 : Hier ist .

Fall 3.1 : Führt zuh , unlösbar (modulo 2 oder auch modulo 3).

Fall 3.2. : Das ergíbt , Widerspruch.


Fall 4 :

Da schätzen wir ab , Widerspruch.

------------------------------------------------------------

Summa summarum haben wir nur die Lösungen (2,4,10,80) in Fall 1.1 sowie (3,5,17,255) in Fall 2.1.
Zahlentheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Wow did Arbeit hättest du dir für mich nicht machen aber vielen Dank smile Als Olympiadeaufgabe ist das doch sehr unelegant. Habe gerade Mal ein bisschen recherchiert und das hier gefunden:

"Aufgabe 531236
(biallas) L¨osungnicht sehr elegant. Meist wurde nicht mehr als die Parit¨at der Faktoren be-
wiesen. (m. langhoff, s. weber)
(braunss) Klare, verst¨andliche Aufgabe. Einzige hilfreiche Betrachtungen waren Parit¨atsbe-
trachtungen fur die Zahlen ¨ a, b, c, d. Keine Schulerl ¨ ¨osung mit mehr als 1 Punkt. (k. silow)
(gallert) Kein Schuler fand einen Zugang zur Aufgabe. ¨
(graebe) Es gab keine bis fast zum Ende durchgefuhrte L ¨ ¨osung, Fallunterscheidungen konnten
wegen verschiedener Rechenfehler nicht konsequent zu Ende gebracht werden. (d. wenzel)
(moldenhauer) Aufgabe zu schwer. In vielen Ans¨atzen ”unendliche Fallunterscheidung”, der
wesentliche Schritt zu einer endlichen Fallunterscheidung fehlte. (hercher)"
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Normalerweise gehen doch Olympiadeaufgaben durch eine Prüfung auf "Angemessenheit". Die vorliegenden Aufgabe ist schon schwer, aber wie gesehen nicht unlösbar, die Techniken sind auch naheliegend. Das Problem ist eher der Zeitfaktor: Wie ich schon geschrieben habe, sind die vielen Klein-Klein-Rechnungen zur Abschätzung der Quotienten (die ja auch nicht immer gleich klappen - der fertige Aufschrieb mag da einen falschen Eindruck vermitteln, weil die verworfenen Versuche mit "kleineren" da fehlen) ohne TR schon sehr zeitaufwändig. Schon erstaunlich, dass diese Aufgabe dann durch diese Prüfung und damit in die Klausur gelangt ist.

D.h., diese Aufgabe wäre wohl eher was für den BWM gewesen, wo man ohne diesen Zeitdruck das ganze hätte bewältigen können.

Zitat:
Original von Zahlentheoretiker
Keine Schulerl ¨ ¨osung mit mehr als 1 Punkt. (k. silow)
(gallert) Kein Schuler fand einen Zugang zur Aufgabe. ¨
(graebe) Es gab keine bis fast zum Ende durchgefuhrte L ¨ ¨osung

Ich hoffe, das waren nur einzelne Länderresümees, und dass es im gesamten Bundesgebiet dann doch noch zu ein paar Nahezu-Komplettlösungen gereicht hat. Aber ich bin gewiss nicht so anmaßend zu sagen, dass ich es unter Klausurbedingungen geschafft hätte, auch und vor allem des erwähnten Zeitfaktors wegen.


P.S.: Bin nach wie vor an einer grandiosen Idee interessiert, d.h. einer, die weniger rechenintensiv dann doch die ganze Sache erheblich abkürzen hilft.
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