Aufschlagender beim Tennis im Vorteil?

17.05.2020, 22:28

A.r.v.i.n.a

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Aufschlagender beim Tennis im Vorteil?

Meine Frage:
In der Aufgabe wird gesagt, dass der Aufschlagende Spieler bei einem Tennismatch in der Regel im Vorteil ist.
Für eine Modellrechnung unterstellt die Aufgabe, dass Spieler S im Spiel gegen seinen Gegner G seinen Aufschlag jeweils mit einer gleichbleibende Wahrscheinlichkeit P gewinnt und sei Gegner seine Aufschläge mit einer gleichbleibende Wahrscheinlichkeit von q gewinnt.
Dabei gilt nicht unbedingt p=1-q .(z.B. kann p=0,7 & q=0,6 sein)

gefragt sind Wahrscheinlichkeiten, dass
- S eines seiner Aufschlagspiele gewinnt
-s einen Satz gewinnt
-s das ganze Match gewinnt

Meine Ideen:
Ich weiß nicht ob man irgendwelche Wahrscheinlichkeit für p und q beliebig aussuchen darf oder ohne zahlen mit p und q rechnen soll.
Außerdem weiß ich gar nicht wie man die Wahrscheinlichkeiten bei die Fragen berechnet.

Das ist mein Klausurersatzleistung und Ihre Hilfe wäre mir sehr sehr hilfreich.
Vielen Dank voraus!

18.05.2020, 07:21

Elvis

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Rechne mit p und q. Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse mit festen Zahlen zu berechnen, wäre unverständlich und unbrauchbar.
Setze voraus, dass die Ereignisse statistisch unabhängig sind, dann kannst du Spiel, Satz und Sieg berechnen.

18.05.2020, 09:30

Ulrich Ruhnau

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RE: A.seyed

Zitat:

Original von A.r.v.i.n.a
gefragt sind Wahrscheinlichkeiten, dass
- S eines seiner Aufschlagspiele gewinnt
-s einen Satz gewinnt
-s das ganze Match gewinnt

Zur Illustration, was innerhalb eines Aufschlagsspiels passiert, habe ich den Wahrscheinlichkeitsbaum für ein Spiel nach 4 gespielten Bällen skizziert.
[attach]51309[/attach]
Man hat also 5 Möglichkeiten, die von Sieg über Vorteil, Einstand, Vorteil Gegner bis nach Spielverlust reichen. Ausgehend davon würde ich neue weiterführende Verzeichnisbäume für die drei mittleren Zweige entwerfen (Vorteil, Einstand, Vorteil Gegner). Für das weitere Vorgehen muß man berücksichtigen, daß man für einen Spielsieg zwei Punkte Vorsprung braucht.

18.05.2020, 09:46

Huggy

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RE: A.seyed

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Ausgehend davon würde ich neue Verzeichnisbäume für die drei mittleren Zweige entwerfen (Vorteil, Einstand, Vorteil Gegner).

Ja. Allerdings würde ich den weiteren Fortgang noch so weit an diesen Baum ahhängen, bis man eines der folgenden Ergebnisse erreicht hat:

1) A hat gewonnen
2) B hat gewonnen
3) Es steht 40:40

Danach ist nur noch der Fortgang aus Situation 3) zu betrachten. Das ist eine kleine Markovkette mit den Zuständen:

1) Einstand
2) Vorteil A
3) Vorteil B
4) A gewinnt
5) B gewinnt

18.05.2020, 10:34

Ulrich Ruhnau

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RE: A.seyed
[attach]51315[/attach]
@Huggy
Zugegeben, der Spielstand 40:15 ist mit 40:30 nicht gleichzusetzen. Lediglich der Spielstand 40:30 ist mit dem Spielstand "Vorteil" gleichsetzbar.

18.05.2020, 20:07

Ulrich Ruhnau

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RE: A.seyed
Ich muß zugeben, ich komme auch nicht richtig weiter.
Da konzentriere ich mich mal auf ein Spiel. Der der aufschlägt, bringt seinen Aufschlag mit der Wahrscheinlichkeit p durch.

Sei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit, daß derjenige, der den Aufschlag hat, das Spiel gewinnt.
$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ = Wahrscheinlichkeit, daß der Aufschläger irgendwann im Spiel im Vorteil ist.
$\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ = Wahrscheinlichkeit, daß irgendwann im Spiel Einstand erreicht wurde.
$\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ = Wahrscheinlichkeit, daß irgendwann im Spiel der Gegner im Vorteil ist.
$\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ = Wahrscheinlichkeit, daß der Gegner das Spiel gewinnt.

Wenn ich auf meinen Plan schaue, dann stelle ich mich auf den Standpunkt, daß der Spielstand 40:30 den Vorteil symbolisiert. Er wird gespeist, vom Spielstand 40:15 und vom Spielstand 30:30. Hier will ich aber einen Trick verwenden, und so tun, als wäre der Spielstand 30:30 in Wirklichkeit die Wahrscheinlichkeit E, daß irgendwann im Spiel Einstand erreicht wurde. Dann könnte ich davon ausgehen, daß mein a gegeben ist durch:

$\begin{eqnarray*} a=\underbrace{4p^3(1-p)^2+6p^3(1-p)^2}_{\text{Spielstand 40:30}}+\underbrace{pE}_{\text{Ballgewinn nach Einstand}}\quad \end{eqnarray*}$ Ebenso ist b gegeben durch

$\begin{eqnarray*} b=\underbrace{4p^2(1-p)^3+6p^2(1-p)^3}_{\text{Spielstand 30:40}}+\underbrace{(1-p)E}_{\text{Ballverlust nach Einstand}}\quad \end{eqnarray*}$ Ferner läßt sich dann E aus den beiden Zweigen errechnen:

$\begin{eqnarray*} E=(1-p)a+pb=20p^3(1-p)^3+E \end{eqnarray*}$ was leider für $\begin{eqnarray*} p\in (0,1) \end{eqnarray*}$ ein Widerspruch ist.

Wer findet meinen Fehler?

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18.05.2020, 20:12

Huggy

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RE: A.seyed
Weshalb willst du dem Fragesteller die Aufgabe vorrechnen? Er hat doch erst mal genügend Anregungen!

18.05.2020, 20:22

Ulrich Ruhnau

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RE: A.seyed
In der Tat wäre es interessant, zu sehen, ob da etwas kommt. Aber ich schätze, da kommt nichts. verwirrt

verwirrt

20.05.2020, 13:03

Huggy

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RE: A.seyed
Recht hast du gehabt, es kommt nichts.

Meine Rechnung wäre so gewesen: Es sei $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit, dass der Aufschläger A einen Punkt macht und im Unterschied zur Notation des Fragestellers $\begin{eqnarray*} q=1-p \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler B bei Aufschlag A einen Punkt macht. Es sei $\begin{eqnarray*} P(A) \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit, dass A sein Aufschlagspiel gewinnt.

Spieler A kann 4:0 oder 4:1 oder 4:2 gewinnen. Es ist

$\begin{eqnarray*} P(4:0)=p^4 \end{eqnarray*}$

Wenn A das Spiel gewinnt, macht er den letzten Punkt. Bei 4:1 muss daher B seinen Punkt innerhalb der ersten 4 Punkte machen. Bei 4:2 muss er seine beiden Punkte innerhalb der ersten 5 Punkte machen. Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} P(4:1)=\binom 4 1 p^4 q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(4:2)= \binom 5 2 p^4q^2 \end{eqnarray*}$

Nach Erreichen des Zustands 40:40 gibt es die Zustände $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ (Einstand), $\begin{eqnarray*} V_A \end{eqnarray*}$ =Vorteil A, $\begin{eqnarray*} V_B \end{eqnarray*}$ =Vorteil B, $\begin{eqnarray*} G_A \end{eqnarray*}$ =A hat gewonnen und $\begin{eqnarray*} G_B \end{eqnarray*}$ = B hat gewonnen.

A kann auch noch über den Zwischenstand 40:40 gewinnen. Die Wahrscheinlichkeit für das Erreichen dieses Zwischenstands ist

$\begin{eqnarray*} P(40:40)=P(3:3)=\binom 6 3 p^3q^3 \end{eqnarray*}$

Nach Erreichen des Stands 40:40 gibt es die Zustände $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ = Einstand, $\begin{eqnarray*} V_A \end{eqnarray*}$ = Vorteil A, $\begin{eqnarray*} V_B \end{eqnarray*}$ = Vorteil B, $\begin{eqnarray*} G_A \end{eqnarray*}$ = A hat gewonnen und $\begin{eqnarray*} G_B \end{eqnarray*}$ = B hat gewonnen mit den Übergängen

$\begin{eqnarray*} G_A \leftarrow V_A \leftrightarrow E \leftrightarrow V_B \rightarrow G_B \end{eqnarray*}$

Es sei jetzt $\begin{eqnarray*} P(X) \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit, dass A aus dem Zustand $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gewinnt, also $\begin{eqnarray*} G_A \end{eqnarray*}$ erreicht. Dann hat man

$\begin{eqnarray*} (1) \quad P(V_A)=p+q P(E) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2) \quad P(E)=pP(V_A)+q P(V_B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3) \quad P(V_B)=p P(E) \end{eqnarray*}$

Das lineare Gleichungssystem hat die Lösung

$\begin{eqnarray*} P(E)=\frac {p^2}{1-2pq} \end{eqnarray*}$

Insgesamt hat man

$\begin{eqnarray*} P(A)=P(4:0)+P(4:1)+P(4:2)+P(3:3)P(E) \end{eqnarray*}$

21.05.2020, 16:50

Ulrich Ruhnau

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RE: A.seyed
[attach]51339[/attach]

Zitat:

Original von Huggy
Es sei jetzt $\begin{eqnarray*} P(X) \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit, dass A aus dem Zustand $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gewinnt, also $\begin{eqnarray*} G_A \end{eqnarray*}$ erreicht. Dann hat man

$\begin{eqnarray*} (1) \quad P(V_A)=p+q P(E) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2) \quad P(E)=pP(V_A)+q P(V_B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3) \quad P(V_B)=p P(E) \end{eqnarray*}$
[/latex]

Hallo Huggy,

ich bin gerade dabei, mir Deine Rechnung anzuschauen. Sieht alles genial aus! Respekt

Respekt

22.05.2020, 08:20

Ulrich Ruhnau

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RE: A.seyed
[attach]51347[/attach]
Ich habe basierend auf Huggys Formeln ein Diagramm erstellt, in dem die blaue Kurve angibt, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, sein Spiel durchzubringen, in Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeit seinen Aufschlag durchzubringen. Rot und gelb beziehen sich auf Spielgewinne ohne Einstand.

11.09.2021, 13:05

Juliano

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RE: Aufschlagender beim Tennis im Vorteil?
Und wie dein Pl? Hast du die Lösung bekommen? Wenn ja würdest du die mir schicken?

11.09.2021, 13:15

HAL 9000

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Wenn man nach über zwei Wochen Pause dann doch noch an seiner Frage Interesse hat, dann könnte man ja auch mal in seinem eigenen Thread nachschauen, ob da in der Zwischenzeit was passiert ist...

11.09.2021, 13:43

Juliano

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Sind das schon die Lösungen?

11.09.2021, 13:45

Juliano

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Zitat:
Original von Huggy
Es sei jetzt P(X) die Wahrscheinlichkeit, dass A aus dem Zustand X gewinnt, also GA erreicht. Dann hat man

(1)P(VA)=p+qP(E)

(2)P(E)=pP(VA)+qP(VB)

(3)P(VB)=pP(E)
[/latex]

Sind das die drei Wahrscheinlichkeiten für die Aufgabe?

11.09.2021, 13:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von A.r.v.i.n.a
gefragt sind Wahrscheinlichkeiten, dass
- S eines seiner Aufschlagspiele gewinnt
-s einen Satz gewinnt
-s das ganze Match gewinnt

Zitat:

Original von Juliano
Sind das die drei Wahrscheinlichkeiten für die Aufgabe?

Es laufen erschreckend viele Fragesteller im Forum rum, die die Antworten nicht richtig durchlesen:

Wo bitte hier im Thread wurden Rechnungen angestellt, die die Wahrscheinlichkeit von Satz- oder gar Matchgewinn überhaupt nur angerissen haben? Finger1

Finger1

Bisher ging es ausschließlich um die Wahrscheinlichkeit des Spielgewinns für den Aufschlagenden. Um die Wahrscheinlichkeitsberechnung für einen Satzgewinn überhaupt in Angriff nehmen zu können, muss man erstmal die Regeln klären: Mit Tie-Break oder ohne usw.

Hatte ich so ähnlich auch im anderen Thread geschrieben, aber darauf hast du ja nicht reagiert. unglücklich

unglücklich

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