Zwei Punkte mit gemeinsamer Tangente, Gleichung ermitteln

18.05.2020, 10:40

Patrick1990

Zwei Punkte mit gemeinsamer Tangente, Gleichung ermitteln

Hallo,
gegeben ist eine Funktion 4. Grades:
$\begin{eqnarray*} -0,024x^4+0,32x^3-1,2x^2+10 \end{eqnarray*}$

Dort sollen zwei Punkte mit gemeinsamer Tangente grafisch gefunden werden.
Wie macht man das analytisch?

Meine Überlegungen:

$\begin{eqnarray*} f'(x_1)=f'(x_2)=m \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x_1)=y_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x_2)=y_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_1-m*x_1=y_2-m*x_2 \end{eqnarray*}$

18.05.2020, 11:16

Ulrich Ruhnau

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RE: Zwei Punkte mit gemeinsamer Tangente, Gleichung ermitteln

Zitat:

Original von Patrick1990
$\begin{eqnarray*} f'(x_1)=f'(x_2)=m \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x_1)=y_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x_2)=y_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_1-m*x_1=y_2-m*x_2 \end{eqnarray*}$

Das sieht schon sehr vernünftig aus. Aber man sollte sich die Kurve erst einmal anschauen, um eine Strategie zu entwickeln, wie das geht.

Nimm doch mal den Funktionsplotter, um die Ableitung des Polynoms grafisch darzustellen!

18.05.2020, 11:28

Patrick1990

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Hallo Ulrich,

das habe ich bereits getan Augenzwinkern

18.05.2020, 12:41

HAL 9000

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Die Tangentengerade $\begin{eqnarray*} t(x)=mx+n \end{eqnarray*}$ hat die Eigenschaft, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} g(x)=f(x)-t(x) \end{eqnarray*}$ an den Tangentenstellen $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \end{eqnarray*}$ jeweils Nullstellen der Vielfachheit $\begin{eqnarray*} \geq 2 \end{eqnarray*}$ haben muss. Da wir insgesamt aber nur Polynomgrad 4 haben, besitzt dieses $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ zwangsläufig die Darstellung $\begin{eqnarray*} g(x) = -0.024(x-x_1)^2 (x-x_2)^2 \end{eqnarray*}$ .

(Partielles) Ausmultiplizieren sowie Koeffizientenvergleich führt zum Erfolg:

Die beiden Gleichungen für die Koeffizienten von $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ liefern zwei Gleichungen für $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \end{eqnarray*}$ , dieses 2x2-System ist mit überschaubaren Aufwand (quadratische Gleichungen) lösbar. Das abschließende Berechnen von $\begin{eqnarray*} m,n \end{eqnarray*}$ daraus sollte keine Hürde mehr darstellen.

Zum Vergleich: Es ergeben sich $\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{5}{3}\left( 2\pm \sqrt{3}\right) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} t(x)=\frac{275-24x}{27} \end{eqnarray*}$ .

18.05.2020, 12:44

Patrick1990

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Vielen Dank!

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