Matrix-Darstellung

18.05.2020, 18:40

Malou2016

Matrix-Darstellung

Meine Frage:
Ich habe eine Matrix wie folgt gegeben:

$\begin{eqnarray*} P:=(P_{ij})=(\delta_{ij}-\frac{\dot{x_{i}}\dot{x_{j}}}{\dot{\vec{x}}^{2}} \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} \vec{x} \neq \vec{0} \end{eqnarray*}$ eine parametrisierte Kurve ist.
Damit soll ich einige Berechnungen durchführen.
Allerdings frage ich mich, wie diese Darstellung als Matrix aussehen würde.

Kann mir da vielleicht jemand helfen?

Meine Ideen:
Die Berechnungen in der Aufgabe sind mir klar jedoch fehlt mir die Darstellung als Matrix dafür.

18.05.2020, 19:00

Elvis

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$\begin{eqnarray*} P=\begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} & p_{13} & ... \\ p_{21} & p_{22} & p_{23} & ... \\ p_{31} & p_{32} & p_{33} & ...\\ ... & ... & ... & ... \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

18.05.2020, 19:23

Malou2016

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Aber was hat das dann mit
$\begin{eqnarray*} (P_{ij})=(\delta_{ij}-\frac{\dot{x_{i}}\dot{x_{j}}}{\dot{\vec{x}}^{2}}) \end{eqnarray*}$ zu tun? Muss das nicht Auch irgendwo berücksichtigt werden?

18.05.2020, 20:02

Elvis

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Ersetze P an jeder Stelle der Matrix durch das was da steht, also durch delta ij minus den Bruch.

18.05.2020, 20:36

Malou2016

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Ich soll unter anderen $\begin{eqnarray*} P^{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P^{T} \end{eqnarray*}$ berechnen. Gibt es da denn eine andere Möglichkeit als das über die Darstellung als Matrix zu berechnen?

18.05.2020, 21:40

Elvis

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Ja, du musst die Matrix nicht in voller Schönheit aufschreiben. Du kannst viel besser die allgemeine Form für das Matrizenprodukt und die transponierte Matrix benutzen. Produkt enthält Summen als Komponenten, transponierte Matrix enthält vertauschte Indices.
$\begin{eqnarray*} (a_{ij}) (b_{jk} ) =(\sum_ja_{ij} b_{jk}), (a_{ij}) ^T=(a_{ji}) \end{eqnarray*}$
Dies ist die Form, die sich auch für Physiker besonders eignet.

18.05.2020, 23:14

Ulrich Ruhnau

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RE: Matrix Darstellung

Zitat:

verbessertes Original von Malou2016
$\begin{eqnarray*} P:=(P_{ij})=\left(\delta_{ij}-\frac{\dot{x_{i}}\dot{x_{j}}}{\dot{\vec{x}}^{2}}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P=\mathbb{1}-a\cdot a^T \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \mathbb{1} \end{eqnarray*}$ die Einheitsmatrix, $\begin{eqnarray*} a\cdot a^T \end{eqnarray*}$ das Dyadische Produkt und $\begin{eqnarray*} a=\frac {\dot x}{|\dot x|} \end{eqnarray*}$ der normierte Vector $\begin{eqnarray*} \dot x \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Original von Malou2016
Ich soll unter anderen $\begin{eqnarray*} P^{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P^{T} \end{eqnarray*}$ berechnen. Gibt es da denn eine andere Möglichkeit als das über die Darstellung als Matrix zu berechnen?

Könntest Du mal darstellen, was Du letztendlich berechnen willst?

19.05.2020, 12:27

Malou2016

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RE: Matrix Darstellung
Ich soll zeigen, dass
a) $\begin{eqnarray*} P^{2}=P=P^{T} \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} P\dot{\vec{x}}=\vec{0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P\vec{n}=\vec{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall\vec{n}\perp\dot{\vec{x}} \end{eqnarray*}$
c) P positiv Seminar-definit ist mit Eigenwerten (ausschließlich) 0 und 1.

gilt.

19.05.2020, 23:01

Ulrich Ruhnau

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RE: Matrix Darstellung

Zitat:

Original von Malou2016
a) $\begin{eqnarray*} P^{2}=P=P^{T} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P=\mathbb 1-a\cdot a^T \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P^2=\left(\mathbb 1-a\cdot a^T\right)\cdot \left(\mathbb 1-a\cdot a^T\right)=\mathbb 1-aa^T\bcancel{-aa^T}\bcancel{+a\underbrace{a^Ta}_{\mathbb 1}a^T}=P \end{eqnarray*}$
wegen $\begin{eqnarray*} (ab)^T=b^Ta^T \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \left(aa^T\right)^T=aa^T \end{eqnarray*}$ und daher $\begin{eqnarray*} P^T=\left(\mathbb 1-a\cdot a^T\right)^T=\mathbb 1-a\cdot a^T=P \end{eqnarray*}$

19.05.2020, 23:46

Ehos

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Definition:

$\begin{eqnarray*} P=P_{ij}=\delta_{ij}-\tfrac{x_ix_j}{|x|^2}=\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & 1 \end{pmatrix} -\tfrac{1}{x_1^2+x_2^2+x_3^2}\begin{pmatrix} x_1x_1 & x_1x_2 & x_1x_3 \\x_2x_1 &x_2x_2 & x_2x_3 \\ x_3x_1 &x_3x_2& x_3x_3 \end{pmatrix}}_{\text{im 3-dimensionalen Fall}} \end{eqnarray*}$

Diese Matrix hängt übrigens eng mit dem Trägheitstensor eines starren Körpers zusammen.

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Satz a):
$\begin{eqnarray*} P_{ij}=P_{ji} \end{eqnarray*}$ (Symmetrie)
$\begin{eqnarray*} P^2=P \end{eqnarray*}$

Beweis a):
Teil 1: Die Symmetrie $\begin{eqnarray*} P_{ij}=P_{ji} \end{eqnarray*}$ ist offensichtlich.

Teil 2: Das Matrixprodukt einer Matrix $\begin{eqnarray*} P_{ij} \end{eqnarray*}$ mit sich selbst lautet allgemein $\begin{eqnarray*} P^2=P_{ij}P_{jk} \end{eqnarray*}$ , wobei über doppelt auftretende Indizes summiert wird (hier also über den Index j). Wir berechnen also

$\begin{eqnarray*} P^2=\left ( \delta_{ij}-\tfrac{x_ix_j}{|x|^2}\right )\left ( \delta_{jk}-\tfrac{x_jx_k}{|x|^2}\right )=\delta_{ij}\delta_{jk}-\delta_{jk}\tfrac{x_ix_j}{|x|^2}-\delta_{ij}\tfrac{x_jx_k}{|x|^2}+\tfrac{x_ix_j}{|x|^2}\tfrac{x_jx_k}{|x|^2} \end{eqnarray*}$

Zur Vereinfachung der ersten drei Summanden verwenden wir die Regel, wonach bei Multiplikation eines beliebigen Tensors $\begin{eqnarray*} A_{ijk...} \end{eqnarray*}$ mit einem Kronekerdelta $\begin{eqnarray*} \delta_{im} \end{eqnarray*}$ der Index wechselt gemäß $\begin{eqnarray*} i \rightarrow m \end{eqnarray*}$ , also allgemein $\begin{eqnarray*} A_{ijk..}\delta_{im}=A_{mjk...} \end{eqnarray*}$ . Bei der Vereinfachung des vierten Summanden beachten wir $\begin{eqnarray*} x_jx_j=|x|^2 \end{eqnarray*}$ , wobei wieder über doppelt auftretenden Index j summiert wurde. Damit kürzt sich im vierten Summend ein Betragsquadrat heraus. Insgesamt bleibt

$\begin{eqnarray*} P^2=\delta_{ik}-\tfrac{x_ix_k}{|x|^2}\underbrace{-\tfrac{x_ix_k}{|x|^2}+\tfrac{x_ix_k}{|x|^2}}_{=0}=P \end{eqnarray*}$

w.z.b.w.

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Satz b): $\begin{eqnarray*} Px=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} P_{ij}x_j=0 \end{eqnarray*}$

Beweis b):

$\begin{eqnarray*} Px=\left( \delta_{ij}-\tfrac{x_ix_j}{|x|^2}\right ) x_j= \delta_{ij}x_j-\tfrac{x_ix_j}{|x|^2}x_j \end{eqnarray*}$

Im ersten Summanden verwenden wir wieder wie im Beweis a) die Regel, dass die Multiplikation von $\begin{eqnarray*} \delta_{ij} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_j \end{eqnarray*}$ einen Indexwechsel bewirkt, also $\begin{eqnarray*} \delta_{ij}x_j=x_i \end{eqnarray*}$ . Im zweiten Summanden beachten wir $\begin{eqnarray*} x_jx_j=|x|^2 \end{eqnarray*}$ , wobei wieder über den doppelt auftretenden Index j summiert wurde. Damit kürzt sich im zweiten Summend das Betragsquadrat heraus. Insgesamt bleibt

$\begin{eqnarray*} Px= x_i-x_i=0 \end{eqnarray*}$

w.z.b.w.

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Satz c):
Die Eigenwerte von P lauten 0 oder 1.

Beweis c):
Wir wenden auf die Eigenwertgleichung $\begin{eqnarray*} Px=\lambda x \end{eqnarray*}$ die Matrix P an und erhalten mit Hilfe der Aussage $\begin{eqnarray*} P^2=P \end{eqnarray*}$ aus Satz a) die Aussage

$\begin{eqnarray*} \underbrace{P^2x}_{Px}=\lambda Px \end{eqnarray*}$

Daraus folgt unmittelbar die Behauptung.

w.z.b.w.

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20.05.2020, 09:26

Ulrich Ruhnau

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RE: Matrix Darstellung

Zitat:

Original von Malou2016
Ich soll zeigen, dass ...
c) P positiv Seminar-definit ist ...

semidefinit

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