Beste lineare Vorhersage

18.05.2020, 21:16

fhannes

Beste lineare Vorhersage

Hey :-)

Beim bearbeiten meines Aufgabenblattes bin ich gerade bei meiner letzten Aufgabe und ich komme irgendwie nicht weiter. Ich kenne die Formeln, weiß aber nicht wie ich anfangen soll:

Wir betrachten ein Würfelexperiment, bei dem 2-mal unabhängig ein unverfälschter Würfel geworfen wird, und bezeichnen mit X die Augenzahl beim ersten Wurf und mit Y die Augensumme beider Würfe. Berechnen Sie Cov(X;Y) und p(X,Y) und bestimmen Sie den besten linearen Vorhersager der Form aX + b für Y. Dabei wählen wir den mittleren quadratischen Fehler E[(Y-aX-b)^2)] aös Fehlermaß für die lineare Vorhersage.

Irgendwelche Tipps oder vielleicht auch eine Erklärung?

19.05.2020, 09:19

HAL 9000

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Bezeichnen wir mit $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ die Augenzahl des zweiten Wurfes, dann ist $\begin{eqnarray*} Y=X+X_2 \end{eqnarray*}$ mit unabhängigen $\begin{eqnarray*} X,X_2 \end{eqnarray*}$ . Unabhängig heißt bei existierenden Varianzen immer auch unkorreliert, d.h., wir können $\begin{eqnarray*} \operatorname{Cov}\left(X,X_2\right)=0 \end{eqnarray*}$ in den Rechnungen nutzen, beispielsweise so:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}\left(Y\right) = \operatorname{Cov}\left(X+X_2,X+X_2\right) = \operatorname{Var}\left(X\right)+ 2\operatorname{Cov}\left(X,X_2\right)+ \operatorname{Var}\left(X_2\right) = \operatorname{Var}\left(X\right)+ \operatorname{Var}\left(X_2\right) = 2\operatorname{Var}\left(X\right) \end{eqnarray*}$

Damit solltest du erstmal weiterkommen. In einer Nebenrechnung für diese Würfelaugenzahlen kannst du schon mal $\begin{eqnarray*} \mu:=E\left(X\right) = E\left(X_2\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma^2:=\operatorname{Var}\left(X\right) = \operatorname{Var}\left(X_2\right) \end{eqnarray*}$ bestimmen, das werden wir später noch brauchen.

Aber auch schon mal ein Hinweis zur zweiten Teilaufgabe:

Zitat:

Original von fhannes
Dabei wählen wir den mittleren quadratischen Fehler E[(Y-aX-b)^2)] aös Fehlermaß für die lineare Vorhersage.

Das kann man doch als Ansatzpunkt nehmen: $\begin{eqnarray*} Y=X+X_2 \end{eqnarray*}$ eingesetzt, die Unkorreliertheit nutzend bekommt man

$\begin{eqnarray*} E\left[\left(Y-aX-b\right)^2\right] = E\left[\left((1-a)(X-\mu) + (X_2-\mu) + (2-a)\mu-b\right)^2\right] \stackrel{!} = (1-a)^2 E\left[(X-\mu)^2\right] + E\left[(X_2-\mu)^2\right] + \left((2-a)\mu-b\right)^2 = \left((1-a)^2+1\right)\sigma^2 + \left((2-a)\mu-b\right)^2 \end{eqnarray*}$ .

Diesen Term rechts gilt es nun bzgl. $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ zu minimieren.

20.05.2020, 05:59

fhannes

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Hallo Hal 9000,

vielen Dank für deine Antwort. Ich denke mit diesem Ansatz bin ich nun auf die Lösung gekommen :-)

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