Gleichung lösen

18.05.2020, 21:40	Gleichungsbäm	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung lösen Meine Frage: sqrt(8x^2-9x-20) - 4 = -3x Meine Ideen: Wenn ich es löse komme ich auf die Ergebnisse 12 und 3 Beide Ergebnisse stimmen aber bei der Probe nicht. Kann das sein???
18.05.2020, 22:01	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Antwort stimmt. Die Gleichung $\begin{align} \sqrt{8x^2-9x-20} = 4-3x \end{align}$ kann höchstens Lösungen haben, wenn $\begin{align} x \leq \frac{4}{3} \end{align}$ ist, denn nur für solche $\begin{align} x \end{align}$ ist die rechte Seite positiv. Quadriert man, so hat die quadrierte Gleichungen in der Tat die Lösungen 3 und 12. Diese lösen aber nicht die gegebene Gleichung, sondern die Gleichung $\begin{align} \sqrt{8x^2-9x-20} = - \left( 4-3x \right) \end{align}$ aus der man durch Quadrieren dieselbe Gleichung erhält.
19.05.2020, 12:52	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Für genügend große $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \sqrt{8x^2-9x-20} > 0 > 4-3x \end{eqnarray}$ , und für genügend kleine negative $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ andererseits $\begin{eqnarray} \sqrt{8x^2-9x-20} < \sqrt{9x^2} = 3\|x\| < 4+3\|x\| = 4-3x \end{eqnarray}$ . Da könnte man doch denken, dass es laut Zwischenwertsatz dazwischen irgendeinen Punkt mit Gleichheit $\begin{eqnarray} \sqrt{8x^2-9x-20} = 4-3x \end{eqnarray}$ geben müsste, oder? Irrtum: $\begin{eqnarray} x\mapsto \sqrt{8x^2-9x-20} \end{eqnarray}$ ist nicht auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ definiert, und mitten durch das Definitionslückenintervall "schlüpft" die Funktion $\begin{eqnarray} x\mapsto 4-3x \end{eqnarray}$ hindurch, wie der folgende Graph beider Funktionen zeigt: Hab das nur mal als Beispiel angebracht, in welche Fallen man laufen kann, wenn man den Zwischenwertsatz unbedacht anwendet.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »