Ungleichung

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Kegorus Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung
Liebes Matheboard-Forum!

Schafft jemand für folgende Ungleichung einen Beweis bzw. hat jemand eine Erklärung wieso sie gilt?



Die sind alle natürliche Zahlen größer gleich 1.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Beweis ist denkbar einfach: Der Multinomialsatz liefert für alle reellen sowie alle nichtnegativen ganzen Zahlen die Berechnungsformel

.

Dazu muss man vielleicht genauer erklären, dass diese Summe über alle -Tupel nichtnegativer ganzer Zahlen läuft, deren Summe eben gleich ist.

Gilt nun ebenfalls für alle , dann kann man die Summe (1) durch jeden ihrer Summanden nach unten abschätzen, schlicht weil alle anderen Summanden nichtnegativ sind:

.

Wählen wir nun auch noch speziell und beachten, dass ja gilt, dann ist

.

Und das ist bis auf eine kleine Umstellung die Behauptung, denn es ist ja .
Kegorus Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, alles klar! Ich hatte den Mutinomialkoeffizienten nicht mehr im Kopf..
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