Kleinster/Größter Abstand

19.05.2020, 18:01

Zahlentheoretiker

Kleinster/Größter Abstand

Meine Frage:
Aufgabe aus 54. Matheolympiade 541234
"Es sei eine positive ganze Zahl $\begin{eqnarray*} n \ge 2 \end{eqnarray*}$ vorgegeben. In Abhängigkeit von n werden nun auf
der Zahlengeraden bestimmte rationale Zahlen markiert, und zwar genau diejenigen, die sich
als Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ mit einer ganzen Zahl a und einer positiven ganzen Zahl b kleiner oder gleich n
darstellen lassen. Insbesondere werden also alle ganzen Zahlen markiert.
a) Man bestimme den größten Abstand M zweier benachbarter markierter Zahlen.
b) Man bestimme den kleinsten Abstand m zweier benachbarter markierter Zahlen."

Meine Ideen:
Soll man hier nach dem kleinsten und größten Abstand für jedes einzelne n suchen oder geht es generell nur um die Abstände die unter allen n maxi- bzwm minimal werden? Im letzteren Fall wäre der größte Abstand ja 0.5 und je größer das n wird sagt mir meine Intuition dass der minimale Abstand mit zunehmendem n immer kleiner wird.

Zwei Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen

19.05.2020, 21:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von Zahlentheoretiker
Soll man hier nach dem kleinsten und größten Abstand für jedes einzelne n suchen

Ich gehe davon aus, dass das gemeint ist - das andere ist irgendwie sinnlos einfach. Zudem steht ja deutlich da

Zitat:

Original von Zahlentheoretiker
"Es sei eine positive ganze Zahl $\begin{eqnarray*} n \ge 2 \end{eqnarray*}$ vorgegeben.

Und nicht etwa "für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ betrachte man..." o.ä.

20.05.2020, 10:09

Ulrich Ruhnau

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RE: Kleinster/Größter Abstand

Zitat:

Original von Zahlentheoretiker
[a) Man bestimme den größten Abstand M zweier benachbarter markierter Zahlen.

Nachdem ich dafür ein kleines Matlab-Programm geschrieben habe, komme ich zum Schluß:

$\begin{eqnarray*} d_{\text{max}}=\frac n1-\frac {n-1}1=1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

b) Man bestimme den kleinsten Abstand m zweier benachbarter markierter Zahlen."

Der kleinste Abstand beträgt:

$\begin{eqnarray*} d_{\text{min}}=\frac 1{n-1}-\frac 1n=\frac{n-1}{n}-\frac{n-2}{n-1} \end{eqnarray*}$

20.05.2020, 14:01

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} M=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m=\frac{1}{n(n-1)} \end{eqnarray*}$ zu finden ist wahrscheinlich nicht so schwer. Worauf es wirklich ankommt ist, diese Werte auch schlüssig zu begründen, d.h. beweisen.

20.05.2020, 17:32

Zahlentheoretiker

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Habe auch diese Formeln für M,m gefunden.
Ist mein Beweis für M korrekt?

Folgende Ungleichung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n-1}- \frac{1}{n}\leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ gilt für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt dass der Abstand von 0 zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ der kleinste ist, denn wenn oben genannte Ungleichung für n gilt galt sie auch für alle $\begin{eqnarray*} n_{i}\leq n \end{eqnarray*}$

20.05.2020, 17:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von Zahlentheoretiker
dass der Abstand von 0 zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ der kleinste ist

Der kleinste ??? Es ist der größte Abstand benachbarter Punkte dieser Menge!

20.05.2020, 17:41

Zahlentheoretiker

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Entschuldigun, genau den hab ich gemeint

20.05.2020, 17:47

Zahlentheoretiker

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Wie siehts mit dem Beweis aus? dazu kann man ja noch sagen dass der Zahlenstrahl in Längen von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ beginnend bei 0, unterteilen kann, in denen die Abstände symmetrisch sind.

20.05.2020, 17:48

HAL 9000

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Sauber ist für mich die Begründung, wenn du z.B. zwei Dinge nachweist:

1) Es gibt keine zwei benachbarten Punkte mit einem größeren Abstand als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

oder von mir aus auch "positiv" formuliert:

Zwei benachbarte Punkte haben immer einen Abstand $\begin{eqnarray*} \leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

2) Es lassen sich zwei benachbarten Punkte mit Abstand $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ finden, d.h., wo sicher kein anderer Punkt dazwischen liegt.

So richtig deutlich kommt das bei dir nicht raus, jedenfalls nicht nach meinem Empfinden. verwirrt

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Ich beweis mal den anderen Teil, d.h. die Formel $\begin{eqnarray*} m=\frac{1}{n(n-1)} \end{eqnarray*}$ , dann verstehst du vielleicht, was ich meine:

1) Seien $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b}\neq\frac{c}{d} \end{eqnarray*}$ beliebige benachbarte markierte Zahlen, mit o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} b\leq d \end{eqnarray*}$ . Im Fall $\begin{eqnarray*} b=d \end{eqnarray*}$ gilt dann $\begin{eqnarray*} \left| \frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right| = \frac{|a-c|}{b}\geq \frac{1}{b}\geq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ , andernfalls ist $\begin{eqnarray*} b<d \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \left| \frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right| = \frac{|ad-bc|}{bd}\geq \frac{1}{bd} \geq \frac{1}{n(n-1)} \end{eqnarray*}$ . Somit ist in jedem Fall $\begin{eqnarray*} m\geq \frac{1}{n(n-1)} \end{eqnarray*}$ .

2) Wir können zwei markierte Zahlen mit Abstand $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n(n-1)} \end{eqnarray*}$ angeben, nämlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n-1} \end{eqnarray*}$ , daher ist $\begin{eqnarray*} m=\frac{1}{n(n-1)} \end{eqnarray*}$ .

20.05.2020, 23:49

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von HAL 9000
Sauber ist für mich die Begründung, wenn du z.B. zwei Dinge nachweist:

1) Es gibt keine zwei benachbarten Punkte mit einem größeren Abstand als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

@HAL
Kann es sein, daß wir die Aufgabe unterschiedlich verstehen? Ich verstehe die Aufgabe so, daß $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b,n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} a,b\le n \end{eqnarray*}$ .

Ich behaupte: Es läßt sich kein passende Kombination von a und b finden, sodaß

$\begin{eqnarray*} \frac {n-1}1<\frac ab<\frac n1 \end{eqnarray*}$ gelten würde. Demzufolge ist der maximale Abstand $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \frac 1n \end{eqnarray*}$

21.05.2020, 03:42

Zahlentheoretiker

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$\begin{eqnarray*} | \frac{a}{b}-\frac{c}{d} |= \frac{n\cdot| a-c| }{n^{2}}=\frac{|a-c| }{n} \geq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ . Wenn man b,d durch n ersetzt wird der nenner ja am größten, der Bruch somit minimal. Der Abstand von 0 zu 1/n ist immer vorhanden. Ist das so Korrekt?

21.05.2020, 07:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von Zahlentheoretiker
Ist das so Korrekt?

Sicher nicht, wenn du schon mit einer offenkundig falschen Gleichung $\begin{eqnarray*} | \frac{a}{b}-\frac{c}{d} |= \frac{n\cdot| a-c| }{n^{2}} \end{eqnarray*}$ startest. unglücklich

@Ulrich Ruhnau

Die Aufgabe ist klar und präzise formuliert: Die natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ ist fest vorgegeben.

Die Menge der markierten Punkte ist dann durch $\begin{eqnarray*} M:=\left\{ \frac{a}{b} \bigm| a,b\in\mathbb{Z}\;\mbox{mit}\;1\leq b\leq n\right\} \end{eqnarray*}$ gegeben. Es ist keinerlei Einschränkungen an Zähler $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ erkennbar, und selbst hinzudichten sollte man die nicht. Wer da noch leichte Zweifel hinsichtlich des Satzbaus hatte, der sollte durch die nachfolgende nochmalige Klarstellung "Insbesondere werden also alle ganzen Zahlen markiert" endgültig seine Zweifel loswerden!

Ich sehe hier keinerlei Spielraum für vernünftige andere Interpretationen. Ist auch bei Olympiadeaufgaben extrem selten, dass sowas passiert.

P.S.: Die Aufgabenformulierung steht übrigens exemplarisch dafür, was ich hier schon mal erwähnt habe: Die Vermeidung des Terminus "natürliche Zahlen" bei vielen Olympiadeaufgaben.

21.05.2020, 07:40

Ulrich Ruhnau

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@Zahlentheoretiker

Angenommen $\begin{eqnarray*} n=4 \end{eqnarray*}$ . Du behauptest, der kleinste Abstand sei $\begin{eqnarray*} \frac 1n=\frac 14 \end{eqnarray*}$ . Ich behaupte, der kleinste Abstand tritt zwischen den Brüchen $\begin{eqnarray*} \frac 13 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac 14 \end{eqnarray*}$ sowie zwischen den Brüchen $\begin{eqnarray*} \frac 23 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac 34 \end{eqnarray*}$ auf. Der Abstand beträgt da jeweils $\begin{eqnarray*} \frac 1{12} \end{eqnarray*}$ . Was sagst Du nun? Big Laugh

Da habe ich einen kleineren Abstand gefunden und Dich widerlegt.

21.05.2020, 08:05

Ulrich Ruhnau

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RE: Kleinster/Größter Abstand

Zitat:

Original von Zahlentheoretiker
"Es sei eine positive ganze Zahl $\begin{eqnarray*} n \ge 2 \end{eqnarray*}$ vorgegeben. In Abhängigkeit von n werden nun auf
der Zahlengeraden bestimmte rationale Zahlen markiert, und zwar genau diejenigen, die sich
als Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ mit einer ganzen Zahl a und einer positiven ganzen Zahl b kleiner oder gleich n
darstellen lassen.

@HAL 9000

Die Passage "mit einer ganzen Zahl a und einer positiven ganzen Zahl b" ist für mich eine Aufzählung. Die nachfolgende Einschränkung "kleiner oder gleich n" bezieht sich auf diese Passage. Ich behaupte, wenn sich "kleiner oder gleich n" nur auf b beziehen sollte, dann hätte "mit einer ganzen Zahl a und einer positiven ganzen Zahl b, die kleiner oder gleich n ist" formuliert werden müssen.

21.05.2020, 08:22

HAL 9000

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Ja ganz offensichtlich sind manche so renitent, dass sie nicht mal das

Zitat:

Original von HAL 9000
Wer da noch leichte Zweifel hinsichtlich des Satzbaus hatte, der sollte durch die nachfolgende nochmalige Klarstellung "Insbesondere werden also alle ganzen Zahlen markiert" endgültig seine Zweifel loswerden!

überzeugt.

21.05.2020, 08:58

Ulrich Ruhnau

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@HAL 9000
Diese Klarstellung hatte ich zunächst ausgeblendet, weil sie mich verwirrt hat. Denn ich wollte meine Schlussfolgerungen selber ziehen. Ich merke also wieder mal, daß ich an der blöden Formulierung gescheitert bin, zumindest was die großen Abstände betrifft.

21.05.2020, 13:26

Zahlentheoretiker

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Ergibt folgende Verkettung Sinn? $\begin{eqnarray*} | \frac{a}{b}-\frac{c}{d} |\leq \frac{n\cdot| a-c| }{n^{2}}=\frac{|a-c| }{n} \geq \frac{1}{n} <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

21.05.2020, 14:08

HAL 9000

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Gleichungsketten mit $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ in einer Reihe machen i.a. keinen Sinn. Und warum du beständig die (zumindest für allgemeine $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \end{eqnarray*}$ im Rahmen der Voraussetzungen) offensichtlich falsche Abschätzung $\begin{eqnarray*} | \frac{a}{b}-\frac{c}{d} |\leq \frac{n\cdot| a-c| }{n^{2}} \end{eqnarray*}$ wiederholst, erschließt sich mir erst recht nicht: Setz doch einfach mal $\begin{eqnarray*} a=c>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b\neq d \end{eqnarray*}$ ein, z.B. $\begin{eqnarray*} a=b=c=1,d=2 \end{eqnarray*}$ , blanker Unsinn!

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Zum $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ habe ich ja bereits dargestellt wie ich vorgehen würde. Nun zu $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ :

1) Für alle Nachbarn $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b}<\frac{c}{d} \end{eqnarray*}$ gibt es zwingend ein $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{a}{b},\frac{c}{d}\right] \subseteq \left[\frac{m}{n},\frac{m+1}{n}\right] \end{eqnarray*}$ :

Denn andernfalls gäbe es eine ganze Zahl $\begin{eqnarray*} m' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{m'}{n} \in \left(\frac{a}{b},\frac{c}{d}\right) \end{eqnarray*}$ , Widerspruch zur Nachbarschaft von $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b},\frac{c}{d} \end{eqnarray*}$ .

Damit ist $\begin{eqnarray*} \left|\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right| \leq \left|\frac{m}{n}-\frac{m+1}{n}\right| = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

2) Die Zahlen 0 und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ haben den Abstand $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und sind tatsächlich Nachbarn, denn die Annahme der Existenz einer markierten Zahl $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b}\in \left(0,\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$ führt einerseits zu $\begin{eqnarray*} a\geq 1 \end{eqnarray*}$ und andererseits zu $\begin{eqnarray*} an < b \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} b\geq an+1\geq n+1 \end{eqnarray*}$ , Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} b\leq n \end{eqnarray*}$ .

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