Vollständige Induktion Produkt

20.05.2020, 10:41	Aralian	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion Produkt Meine Frage: Hallo, ich soll mittels Induktion beweisen, dass das Produkt von k=1 bis n von [((n+1)/k)-1] = 1 ist. $\begin{eqnarray} \prod\limits_{k=1}^{n} (n+1)/k-1 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich komme bisher mit vollständiger Induktion eigentlich ganz gut klar, nur habe ich hier ein Problem, da im Produkt ein n steht. Ich hae versucht es evtl. über Indexverschiebung zu lösen, allerdings weiß ich nicht genau, wie ich das n im Produkt dabei behandeln muss.
20.05.2020, 11:17	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ist kein Problem. Induktionsanfang $\begin{eqnarray} n=1: \frac {1+1}1-1=1 \end{eqnarray}$ tipp: $\begin{eqnarray} \frac {n+1}k-1=\frac n k -\frac {k-1} k \end{eqnarray}$ . Damit sieht man sofort, dass die Behauptung richtig ist, und was man sofort sieht, kann man leicht beweisen.
20.05.2020, 11:42	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Operatoren wie das Summen- oder Produktzeichen binden stärker als Plus und Minus. Du solltest daher noch eine Klammer um das allgemeine Produktglied machen, also so: $\begin{align} \prod_{k=1}^n \left( \frac{n+1}{k} - 1 \right) \end{align}$ Vorweg: was steckt dahinter? Wenn man das Produktglied auf einen Bruchstrich schreibt, sieht es so aus: $\begin{align} \frac{n+1}{k} - 1 = \frac{n+1}{k} - \frac{k}{k} = \frac{n+1-k}{k} \end{align}$ Machen wir einmal das Beispiel $\begin{align} n=4 \end{align}$ . Dann bekommen wir $\begin{align} \prod_{k=1}^4 \frac{n+1-k}{k} = \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} \end{align}$ Und daß das 1 ist, ist offensichtlich. Das ist das ganze Geheimnis dieser Aufgabe. Nun müssen wir uns dumm stellen und so tun, als durchschauten wir das nicht, und diese Aufgabe fleißig mit vollständiger Induktion lösen. Versuchen wir mal den Schritt von $\begin{align} n=4 \end{align}$ auf $\begin{align} n=5 \end{align}$ : $\begin{align} \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{5}{5} \cdot \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \end{align}$ Vielleicht kann man diese Idee im allgemeinen Fall im Induktionsschritt umsetzen.

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