Integral

20.05.2020, 16:27

Intle

Integral

Meine Frage:
Hi,

kann über eine nicht negative Funktion, das Integral negativ werden ?

Meine Ideen:
Ich denke nicht, aber ich weiß nicht, wie ich es begründen soll..

20.05.2020, 16:37

Helferlein

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Schätze das Integral nach unten ab und schon hast Du, was Du beweisen möchtest.

20.05.2020, 16:54

inte

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und wie ? Ich bin Schüler..

20.05.2020, 17:51

IfindU

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@Helferlein

Hier ist die Frage welche Bedingungen an a, b gestellt für $\begin{eqnarray*} \int_a^b \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

20.05.2020, 18:22

Helferlein

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@inte
Willst Du es beweisen, oder nur begründen?
Für letzteres reicht vielleicht das Verständnis, dass das Integral eine Flächenbilanz ist.
Wo liegt die Fläche, wenn die Funktion nicht negativ ist und was bedeutet das für die Flächenbilanz?

@Ifindu
Daran hatte ich nicht gedacht, da man die nötige Voraussetzung ja in den meisten Fällen vorliegen hat.
Aber wenn inde erst mit dem Integral angefangen hat könnte tatsächlich dieser Spezialfall gemeinr sein.

20.05.2020, 18:39

Intle

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In der Regel ist a<b. Wenn f(x)>=0 ist, gilt dann:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx \geq \int_{a}^{b} \! 0 \, dx=0 \end{eqnarray*}$ ? Kann ich das machen?

20.05.2020, 18:44

Finn_

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Definition Integral für stetiges $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a\le b \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \int_a^b f(x)\,\mathrm dx := \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1} f\Big(a+k\frac{b-a}{n}\Big)\cdot\frac{b-a}{n}. \end{eqnarray*}$

Wegen Prämisse $\begin{eqnarray*} f(x)\ge 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist jeder Summand nichtnegativ, infolge auch die Summe. Nennen wir diese nun $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ . Für eine beliebige nichtnegative Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist aber $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} a_n \ge 0. \end{eqnarray*}$ Setze $\begin{eqnarray*} a_n:=s_n \end{eqnarray*}$ .

Betrachte zur letzten Aussage die Definition
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} a_n = L\iff \forall\varepsilon>0\colon \exists n_0\colon \forall n\ge n_0\colon |a_n-L|<\varepsilon. \end{eqnarray*}$

Die Folge sei als konvergent vorausgesetzt mit $\begin{eqnarray*} a_n\ge 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Angenommen $\begin{eqnarray*} L<0 \end{eqnarray*}$ . Weil $\begin{eqnarray*} |a_n-L| \end{eqnarray*}$ beliebig klein werden muss, müsste dann irgendwann auch $\begin{eqnarray*} a_n<0 \end{eqnarray*}$ sein, was der Prämisse $\begin{eqnarray*} a_n\ge 0 \end{eqnarray*}$ widerspricht. Also gilt $\begin{eqnarray*} L\ge 0 \end{eqnarray*}$ .

20.05.2020, 19:08

Finn_

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Alternativ: Die Integralfunktion
$\begin{eqnarray*} \Phi(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm dt \end{eqnarray*}$
ist monoton steigend, denn nach dem Hauptsatz gilt
$\begin{eqnarray*} \Phi(x) = F(x)-F(a) \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} F'=f \end{eqnarray*}$ ,
infolge
$\begin{eqnarray*} \Phi'(x) = F'(x) = f(x), \end{eqnarray*}$
gemäß Prämisse $\begin{eqnarray*} f(x)\ge 0 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} \Phi'(x)\ge 0 \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} a\le b \end{eqnarray*}$ ist daher $\begin{eqnarray*} 0=\Phi(a)\le\Phi(b) \end{eqnarray*}$ .

20.05.2020, 20:23

Leopold

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@ Finn_

Zitat:

Original von inte
und wie ? Ich bin Schüler..

20.05.2020, 20:59

klauss

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RE: Integral
Das Beweismonster hat wieder zugeschlagen ... Big Laugh

Aber nun mal ein Beitrag von praktischem Belang für den Schulgebrauch:
In Abiturprüfungen wird gern verlangt, zum gegebenen Graphen irgendeiner Funktion die Integralfunktion
$\begin{eqnarray*} F(x)=\int_{a}^{x} \! f(t) \, dt \end{eqnarray*}$
zu skizzeren und evtl. die Lage oder Anzahl ihrer Nullstellen zu bestimmen.
$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist im Prinzip erstmal beliebig, in so einer Aufgabe aber fest vorgegeben.
Vom Prüfling wird dann erwartet zu erkennen, wie sich die Flächenbilanz verhält, je nachdem, ob $\begin{eqnarray*} x>a \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x<a \end{eqnarray*}$ . In letzterem Fall muß man eben umdenken, dass Flächen oberhalb der x-Achse negativ gewertet werden, weil man von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ aus "in umgekehrter Richtung" integriert.

Da die ursprüngliche schlichte Fragestellung keine besonderen Voraussetzungen beinhaltet, lautet die Antwort darauf zunächst ebenso schlicht: "Ja, kann es."

20.05.2020, 21:07

Intle

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RE: Integral
Was ist mit für a <x ?

20.05.2020, 21:23

Finn_

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Naja wir haben jetzt festen Boden unter den Füßen und können nun beliebiges Hand-waving machen. Z.B. so:

Satz. Integral (über geschlossenenem Intervall) von nichtnegativem Integrand ist nichtnegativ.

Beweis. Summe der (orientierten) Flächeninhalte von Rechtecken (mit nichtnegativer Höhe) ist nichtnegativ. Daran ändert sich auch nichts wenn die Rechtecke immer feiner werden. q.e.d.

Kein Formelsalat mehr.

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