Newton-Verfahren, Ableitung

20.05.2020, 23:24

123Kevin

Newton-Verfahren, Ableitung

Ansatz:
$\begin{eqnarray*} x^{k+1}= x^k - \frac{F(x^k)}{F'(x^k)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F'x) = \frac{x^2*\frac{1 }{\sqrt[3]{(x^2+1)} }-\frac{1}{\sqrt{x^2+1} } }{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Passt die Ableitung so?

21.05.2020, 00:24

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Newton Verfahren Ableitung Problem
Statt $\begin{eqnarray*} x^k \end{eqnarray*}$ solltest Du vielleicht lieber $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ schreiben und statt $\begin{eqnarray*} x^{k+1} \end{eqnarray*}$ lieber $\begin{eqnarray*} x_{k+1} \end{eqnarray*}$ . Auch mit der Ableitung ist etwas nicht in Ordnung.

21.05.2020, 01:50

123Kevin

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die Musterlösung auch ,aber ich verstehe nicht wie die auf die Ableitung kommen ?
Erkenne meinen Fehler nicht ?
Ich verstehe auch nicht wie die das genau am Ende vereinfachen um auf das Ergebnis zu kommen ?

21.05.2020, 02:41

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Die haben einfach nur die Quotientenregel angewendet und danach den Zählerterm gleichnamig gemacht.

Vielleicht erklärst Du uns, wie Du auf deine Ableitung gekommen bist. Speziell wo die dritte Wurzel herkommt finde ich nicht nachvollziehbar.

21.05.2020, 03:24

123Kevin

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe auch Quotientenregel angewendet :

Den unteren Term so ableiten ?

(x^2+1)^1/2 = 2x * /sqrt(x^2+1) ?

Komme aber dann auf sowas ?
Passt immer noch net

$\begin{eqnarray*} F'x) = \frac{x^2*\frac{1 }{\sqrt[2]{(x^2+1)} }-\frac{1}{\sqrt{x^2+1} } }{x^2+1} \end{eqnarray*}$

21.05.2020, 07:04

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

Quotientenregel:

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{u(x)}{v(x)},\quad F'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} u=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v=\left(1+x^2\right)^{\frac 12 } \end{eqnarray*}$

wird zunächst
$\begin{eqnarray*} u'=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v'=\frac 12\left(1+x^2\right)^{-\frac 12 }\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \end{eqnarray*}$

Jetzt mußt Du das nur noch einsetzen.

21.05.2020, 09:54

123Kevin

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} F'x) = \frac{x^2*\frac{1 }{\sqrt[2]{(x^2+1)} }-\sqrt{x^2+1} }{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Hätte jetzt das hier stehen ?

21.05.2020, 10:31

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist doch aber falsch! geschockt

Fällt Dir das gar nicht auf?

21.05.2020, 10:41

123Kevin

Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe die Quotienten Regel angewendet

?

21.05.2020, 10:48

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt nehme $\begin{eqnarray*} u,v,u',v' \end{eqnarray*}$ und setze das richtig und die Formel ein! Sonst können wir Dir nicht mehr helfen. Lehrer

21.05.2020, 11:12

123Kevin

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} F'x) = \frac{x*\frac{x }{\sqrt[2]{(x^2+1)} }-\sqrt{x^2+1} *1 }{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Dann schreibe ich es mal so?
Jetzt besser ?
Erkenne den Fehler nicht

21.05.2020, 11:20

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gebe noch einmal den Hiweis, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+1}=\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2+1}} \end{eqnarray*}$

21.05.2020, 11:23

123Kevin

Auf diesen Beitrag antworten »

Bin ich blöd ? verwirrt

Was meinst du jetzt mit deinem Hinweis ?

Ich habe doch ganz normal :
u'*v-u*v' eingesetzt?

Wenn man unten quadriert fällt die Wurzel weg

21.05.2020, 12:35

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{u(x)}{v(x)},\quad F'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} u=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v=\left(1+x^2\right)^{\frac 12 } \end{eqnarray*}$

wird zunächst
$\begin{eqnarray*} u'=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v'=\frac 12\left(1+x^2\right)^{-\frac 12 }\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \end{eqnarray*}$

Davon ausgehend, ist der Zähler:

$\begin{eqnarray*} u'v-uv'=1\cdot \left(1+x^2\right)^{\frac 12 }-x\cdot x\left(1+x^2\right)^{-\frac 12 }<br /> \end{eqnarray*}$

und der Nenner $\begin{eqnarray*} v^2=1+x^2 \end{eqnarray*}$

Wenn man das vergleicht mit

Zitat:

Original von 123Kevin
$\begin{eqnarray*} F'x) = \frac{x*\frac{x }{\sqrt[2]{(x^2+1)} }-\sqrt{x^2+1} *1 }{x^2+1} \end{eqnarray*}$

dann kommt man zum Schluß, das zumindest das Vorzeichen des Zählers nicht gestimmt hat.
Ab hier sollte man den Bruch mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+1} \end{eqnarray*}$ erweitern und dann weiter das Newtonverfahren fortsetzen.

21.05.2020, 12:59

123Kevin

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja also jetzt einfach erweitern ?
Aber ich verstehe ehrlich nicht was an meiner Ableitung falsch ist

Keine Ahnung

21.05.2020, 13:56

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast etwas vertauscht, und damit das Vorzeichen geändert.

$\begin{eqnarray*} u'v-uv'=-\left(uv'-u'v\right) \end{eqnarray*}$

Du kannst jetzt einfach das Vorzeichen zurückdrehen und weiterrechen.

21.05.2020, 15:01

123Kevin

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2-(\sqrt{x^2+1})^2 }{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Jetzt durch multipliziert und ?

Passt ?

21.05.2020, 18:48

123Kevin

Auf diesen Beitrag antworten »

Noch da Ulrich ?
Komme einfach alleine nicht weiter ? Big Laugh

Will aber nicht aufgeben .
Bist du noch da?

21.05.2020, 19:39

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von 123Kevin
$\begin{eqnarray*} F'x) = \frac{x*\frac{x }{\sqrt[2]{(x^2+1)} }-\sqrt{x^2+1} *1 }{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Die Quotientenregel lautet

$\begin{align*} \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2} \end{align*}$

Bei deinem Ableitungsterm sind die Glieder im Zähler vertauscht. Sonst hast du alles richtig gemacht.

Zitat:

Original von 123Kevin
$\begin{eqnarray*} \frac{x^2-(\sqrt{x^2+1})^2 }{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Das stimmt nun allerdings nicht mehr (außer dem Vorzeichenfehler von vorhin). Wenn du den Bruch mit $\begin{align*} \sqrt{x^2+1} \end{align*}$ erweiterst, mußt du auch den Nenner damit multiplizieren:

$\begin{align*} \frac{\sqrt{x^2+1} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1} = \frac{\left( \sqrt{x^2+1} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} \right) \cdot \sqrt{x^2+1}}{\left( x^2 + 1 \right) \cdot \sqrt{x^2+1}} \end{align*}$

21.05.2020, 21:35

123Kevin

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach gut ok .
Das ist ganz schon tricky
Weisst du wie ich es jetzt genau weiter vereinfachen soll?

21.05.2020, 21:41

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist unmittelbar vor dem Ziel und erhältst den Term, der in der Lösung angegeben ist. Multipliziere im Zähler aus und vereinfache.

21.05.2020, 21:57

123Kevin

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x^2+1}- \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1} } }{(x^2+1)} \end{eqnarray*}$

Habe jetzt das stehen
Weiter komme ich nicht ?

21.05.2020, 22:00

123Kevin

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{x^2+1} )^2-x^2}{\sqrt{x^2+1}*(x^2+1)} \end{eqnarray*}$

So sieht es glaub ich besser aus

Wie geht es weiter ?

21.05.2020, 22:01

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte, wir waren schon weiter. Du bist jetzt wieder da, wo du nach der Quotientenregel differenziert hattest, dieses Mal mit richtiger Reihenfolge im Zähler. Und jetzt mit $\begin{align*} \sqrt{x^2+1} \end{align*}$ erweitern, wie das schon in meinem vorletzten und letzten Beitrag steht.

EDIT
Unsere Beiträge haben sich überschnitten. Jetzt noch im Zähler vereinfachen.

21.05.2020, 22:02

123Kevin

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von 123Kevin
$\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{x^2+1} )^2-x^2}{\sqrt{x^2+1}*(x^2+1)} \end{eqnarray*}$

So sieht es glaub ich besser aus

Wie geht es weiter ?

Sorry bin zu spät darauf gekommen ? Big Laugh

Wie geht es weiter ?

21.05.2020, 22:43

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest statt $\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{u} \right)^2\to u \end{eqnarray*}$ hinschreiben. $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ steht für etwas beliebiges.

21.05.2020, 23:11

123Kevin

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{x^2+1}*(x^2+1)} \end{eqnarray*}$

hmm soweit habe ich es jetzt Big Laugh

Wieder stecke ich leider fest ?

21.05.2020, 23:19

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch das Ziel vor Augen.

21.05.2020, 23:26

123Kevin

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x^2+1)^{3/2}} \end{eqnarray*}$

Hast Recht habe es jetzt auch gemerkt Big Laugh

Kannst du mir auch erklären wie die eingesetzt auf diesen Term kommen ?

Verstehe es net .
Vor allem ,weil viele Sachen über dem Bruchstrich stehen

21.05.2020, 23:48

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Irritierend für dich ist vielleicht der hochgestellte Index $\begin{align*} k \end{align*}$ . Das ist keine besonders gute Idee, das so zu tun. Besser ist es, den Index unten anzuhängen, also $\begin{align*} x_k \end{align*}$ statt $\begin{align*} x^k \end{align*}$ zu schreiben. Darauf hat Ulrich Ruhnau bereits in seinem ersten Beitrag hingewiesen. Vielleicht lassen wir das $\begin{align*} k \end{align*}$ erst mal ganz weg und schreiben das lieber als Iterationsfunktion

$\begin{align*} \varphi(x) = x - \frac{f(x)}{f'(x)} \end{align*}$

Später ist dann $\begin{align*} x_{k+1} = \varphi(x_k) \end{align*}$ .

Und mit $\begin{align*} f \end{align*}$ und $\begin{align*} f' \end{align*}$ wie berechnet erhältst du

$\begin{align*} \varphi(x) = x - \frac{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{\frac{1}{\left( x^2 + 1 \right)^{\frac{3}{2}}}} \end{align*}$

Und jetzt mußt du nur wissen, wie man mit einem Doppelbruch umgeht:

$\begin{align*} \frac{\frac{A}{B}}{\frac{C}{D}} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{AD}{BC} \end{align*}$

Es ist nicht gut, wenn du dir jeden Schritt vorkauen läßt. Du solltest ein wenig mehr Eigeninitiative zeigen.

Neue Frage »

Antworten »

Newton-Verfahren, Ableitung

Verwandte Themen