Berechnen von Winkeln

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dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnen von Winkeln
hallo,
für eine Aufgabe zur Triangulierung möchte ich Winkel berechnen : geometrisch und per Lineare Algebra, komme aber auf verschiedene Ergebnisse.

Gegeben: x/y Koordinatensystem
Vektor p von (0,0) nach (1, 0.5)
Vektor q von (0,0) nach (2, 2)
Der Winkel dazwischen soll bestimmt werden.

geometrisch:
p hat einen Winkel von 30° zur x-Achse
q 45° zur x-Achse
// stimmt doch sicherlich, oder?

also Winkel phi dazwischen:
phi = 45°-30° = 15° = 0.2618 = pi/12



per L.A.:

mit ||.|| = Länge
<.,.> Skalarprodukt
px: x-Koordinate von p
py: y-Koordinate von p
SQRT() = Quadratwurzel()

ist der Winkel zwischen 2 Vektoren definiert per

cos(phi) = <p,q> / ( ||p||*||q|| )

= ( px*qx + py*qy) / ( SQRT(px²+py²) * SQRT(qx²+qy²) )
= ( 1*2 + 0.5*2) / (SQRT(1²+0.5²) * SQRT(2²+2²) )
= ( 2 + 1 ) / (SQRT(1.25) * SQRT(8) )
= 3 / (1.12*2.828)
= 3 / 3.17
= 0.946

phi = arccos(0.946) = 18.9° = 0.33 = pi/9.52

ich bin sicher betriebsblind, aber wo?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: berechnen von Winkeln: geometrisch und per Lineare Algebra
Zitat:
Original von dsyleixa
p hat einen Winkel von 30° zur x-Achse
q 45° zur x-Achse


Das erste ist falsch.
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »
RE: berechnen von Winkeln: geometrisch und per Lineare Algebra
Begründung?
ich komme bei dem Vektor und seinem Lot auf die x-Achse auf die Innenwinkel 90°, 60°, 30°
wie ist es richtig?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

klar, du hast recht, danke!
Dann wäre
phi = 45° - 26,56° = 18,44°

das ist dann immer noch ein Unterschied zu 18,9° nach LA-Skalarprodukt und Längen, aber schon deutlich weniger ... Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du richtig rechnest, verschwindet auch noch dieser Unterschied:

 
 
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

ok, also nochmal

cos(phi) = <p,q> / ( ||p||*||q|| )

= ( px*qx + py*qy) / ( SQRT(px²+py²) * SQRT(qx²+qy²) )
= ( 1*2 + 0.5*2) / (SQRT(1²+0.5²) * SQRT(2²+2²) )
= ( 2 + 1 ) / (SQRT(1.25) * SQRT(8) )
= 3 / (1.118*2.82843)
= 3 / 3.1621
= 0.9487

arccos(0.9487) = 18.432°

da sieht man mal wieder, diese Rundungsfehler.... (und Tippfehler :-/ )

vielen Dank nochmal ! :-)
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