R³ über Körper der Reellen Zahlen "automatisch" Hilbertraum?

21.05.2020, 23:30

dsyleixa

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R³ über Körper der Reellen Zahlen "automatisch" Hilbertraum?

hallo,
eine letzte Frage noch für heute:
ist der R³ über dem Körper der Reellen Zahlen mit den impliziten Körper-Rechenregeln "automatisch" schon ein Hilbertraum?
Eine Längen-Normierung ||.|| ist doch einerseits schon trivialerweise (?) über das Neutrale Element der Multiplikation für jede Richtung gegeben, und jedes Element von R³ = jeder Vektor von beliebiger Länge ( > 0) und Richtung kann per Division durch seine Länge jederzeit auf Länge 1 normiert werden -
- oder wird der R³ erst dadurch zum Hilbertraum, dass man zusätzlich das Skalarprodukt <.,.> als Schreibweise für eine bestimmte Rechenoperation ausdrücklich zusätzlich definiert?

22.05.2020, 10:38

Elvis

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RE: R³ über Körper der Reellen Zahlen "automatisch" Hilbertraum?

Zitat:

Original von dsyleixa

ist der R³ über dem Körper der Reellen Zahlen mit den impliziten Körper-Rechenregeln "automatisch" schon ein Hilbertraum?

nein

Zitat:

Original von dsyleixa
- oder wird der R³ erst dadurch zum Hilbertraum, dass man zusätzlich das Skalarprodukt <.,.> als Schreibweise für eine bestimmte Rechenoperation ausdrücklich zusätzlich definiert?

nein

Wikipedia: Ein Hilbertraum ist ein reeller oder komplexer Vektorraum H mit einem Skalarprodukt <.,.>, der vollständig bezüglich der durch das Skalarprodukt induzierten Norm ist, in dem also jede Cauchy-Folge konvergiert.

22.05.2020, 11:11

dsyleixa

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RE: R³ über Körper der Reellen Zahlen "automatisch" Hilbertraum?

Zitat:

Original von Elvis

Zitat:

Original von dsyleixa

ist der R³ über dem Körper der Reellen Zahlen mit den impliziten Körper-Rechenregeln "automatisch" schon ein Hilbertraum?

nein

Zitat:

Original von dsyleixa
- oder wird der R³ erst dadurch zum Hilbertraum, dass man zusätzlich das Skalarprodukt <.,.> als Schreibweise für eine bestimmte Rechenoperation ausdrücklich zusätzlich definiert?

nein

Wikipedia: Ein Hilbertraum ist ein reeller oder komplexer Vektorraum H mit einem Skalarprodukt <.,.>, der vollständig bezüglich der durch das Skalarprodukt induzierten Norm ist, in dem also jede Cauchy-Folge konvergiert.

das weiß ich, und das kann nicht die Anwort auf meine Frage sein.
Der Koordinatenraum R³ mit dem reellen Skalarprodukt <u,v> = u1v1 + u2v2 + u3v3 ist ja nunmal unzweifelhaft ein Hilbertraum,
siehe wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Beispiele ,
die Frage ist nur, ob das Skalarprodukt, das ja eine einfache Anwendung von bekannten Rechenregeln aus R ist, zusätzlich explizit definiert werden muss, damit der R³ zum Hilbertraum wird.
Du hast beide Fragen pauschal verneint, was bedeuten würde, dass der R³ mit Skalarprodukt niemals ein Hilbertraum sein kann, aber das widerspricht der Tatsache, dass der Koordinatenraum R^n auch bei Wikipedia als Beispiel für einen Hilbertraum explizit genannt wird.

22.05.2020, 11:40

IfindU

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Ein Hilbertraum ist immer ein Paar zwischen einer Vektorraum und einer Skalarprodukt. Wenn offensichtlich ist, welches Skalarprodukt gemeint ist, wird es nicht explizit genannt und es wird unsauber der Vektorraum selbst bereits als Hilbertraum bezeichnet.

Bei $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ist man da besonders lax. Als endlich-dimensional ist der Raum mit jedem Skalarprodukt vollständig und damit sofort ein Hilbertraum. Da man ein Standardskalarprodukt dort kennt, die Definition hast du sogar genannt, erwähnt man es noch seltener explizit als anderen Räumen.

22.05.2020, 11:41

Leopold

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1. Der $\begin{align*} \mathbb{R}^3 \end{align*}$ ist zunächst einmal nur die Menge aller Tripel $\begin{align*} x = \left( x_1,x_2,x_3 \right) \end{align*}$ reeller Zahlen, also eine bloße Menge.

2. Indem man in bekannter Weise eine Addition $\begin{align*} x+y \end{align*}$ solcher Tripel $\begin{align*} x,y \end{align*}$ und die Multiplikation $\begin{align*} \lambda x \end{align*}$ eines Skalars $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ mit einem Tripel $\begin{align*} x \end{align*}$ koordinatenweise definiert, wird $\begin{align*} \mathcal{R}^3 = \left( \mathbb{R}^3,+,\cdot \right) \end{align*}$ zu einem Vektorraum. Jetzt ist es üblich, dafür nicht, wie ich es gerade gemacht habe, ein neues Zeichen $\begin{align*} \mathcal{R}^3 \end{align*}$ einzuführen, und ebensowenig, die Operationen $\begin{align*} + \end{align*}$ und $\begin{align*} \cdot \end{align*}$ immer mitzuschleppen, sondern einfach von dem Vektorraum $\begin{align*} \mathbb{R}^3 \end{align*}$ zu sprechen. Obwohl es auch andere Möglichkeiten gibt, die Menge $\begin{align*} \mathbb{R}^3 \end{align*}$ zu einem Vektorraum zu machen, ist immer der oben beschriebene Standard-Vektorraum gemeint, sofern nicht ausdrücklich etwas anderes vermerkt wird.

3. Jetzt kommt eine weitere Operation hinzu, ein Skalarprodukt $\begin{align*} \langle \cdot , \cdot \rangle \end{align*}$ . Erst mit einem solchen zusammen wird $\begin{align*} \mathcal{R}^3 \end{align*}$ , oder wie wir ja kürzer sagen wollen: $\begin{align*} \mathbb{R}^3 \end{align*}$ , zu einem Hilbert-Raum (ich glaube, die im Hilbert-Raum geforderte Vollständigkeit ergibt sich in diesem einfachen Fall von alleine). Für die Definition eines Skalarprodukts gibt es viele Möglichkeiten, die bekannteste ist sicher das Standard-Skalarprodukt. Es mag sein, daß in einer konkreten Situation ein Skalarprodukt, zum Beispiel das Standard-Skalarprodukt, im Hintergrund immer mitläuft, so daß es einem irgendwann zu blöd wird, jedes Mal zu sagen: "der $\begin{align*} \mathbb{R}^3 \end{align*}$ als Hilbert-Raum mit dem oben (eingangs, in diesem Kapitel, ...) definierten Skalarprodukt", und sich die Redeweise abschleift zu "der Hilbert-Raum $\begin{align*} \mathbb{R}^3 \end{align*}$ ". Dann ist eben das im Kontext verwendete Skalarprodukt gemeint, im Zweifel das Standard-Skalarprodukt.

22.05.2020, 11:51

IfindU

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Um die Ausführung von Leopold ins Extreme zu führen, wenn man alles aufschreiben möchte:

Der Grundkörper für die Skalare muss ebenfalls genannt werden. Hier in der Regel $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Aber $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist auch nur eine Menge, hier sind noch die Verknüpfungen $\begin{eqnarray*} (+_{\mathbb R}, \cdot_{\mathbb R}) \end{eqnarray*}$ zu nennen. D.h. wir wären bei
$\begin{eqnarray*} \mathcal R^3 = \left( \mathbb{R}^3,+,\cdot, (\mathbb R,+_{\mathbb R}, \cdot_{\mathbb R}) \right) \end{eqnarray*}$ .

Damit wäre der Hilbertraum vollständig aufgeschrieben sowas wie $\begin{eqnarray*} \mathcal H = \left( \mathbb{R}^3,+,\cdot, (\mathbb R,+_{\mathbb R}, \cdot_{\mathbb R}), \langle \cdot, \cdot \rangle \right) \end{eqnarray*}$ .

Kein Wunder, dass man sagt $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ist ein Hilbertraum statt es sauber zu formulieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

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22.05.2020, 11:57

Leopold

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Und was ist mit den nullären Operationen? Sollte man die, lieber IfindU, nicht auch noch aufführen? Let's try to search after them. Afterwards you will get a new name: IfoundThem. Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.05.2020, 12:22

dsyleixa

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vielen Dank an euch beide!
Für mich ist das mit der "laxen Ausdrucksweise" und der nicht-Notwendigkeit einer ausführlichen Schreibweise mit expliziten Mitschleppen der Art des Skalarprodukts tatsächlich nicht so ganz transparent gewesen.
Tatsächlich verstehe ich es dann so, dass man "eigentlich" alles vorab klar definieren muss, damit der R³ zum Hilbertraum wird.
Jetzt muss ich mal überlegen, warum dann auch alle Cauchyfolgen im R³ mit dem Standardskalarpodukt tatsächlich alle wieder im R³ konvergieren... Idee!

Idee!

22.05.2020, 13:09

Elvis

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Zusätzlich darfst du dir überlegen, wie viele verschiedene Skalarprodukte auf dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ existieren und warum der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ mit jedem Skalarprodukt ein Hilbertraum ist, wie es IfindU behauptet hat. Sein Hinweis war, dass das an der endlichen Dimension liegt, aber wo ist der Beweis ?

22.05.2020, 13:13

dsyleixa

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bin schon 1 Schritt weiter:
Die Vollständigkeit von R^n wird auf die Vollständigkeit von R zurückgeführt. Die Vollständigkeit von R jedoch ist ein Postulat, d.h. R ist gemäß seiner Definition (Q+Grenzwerte aller Cauchy-Folgen) vollständig.

Nun eine letzte Frage: Man findet diese Schreibweise folgender Aussage:
"Der normierte Vektorraum(Rn,||.||₂) ist vollständig."
||.|| ist klar, was aber bedeutet die tiefgestellte 2 in diesem Zusammenhang
||.||₂
:?:

22.05.2020, 13:58

IfindU

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Im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ existieren die $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -Normen. Für $\begin{eqnarray*} 1 \leq p < \infty \end{eqnarray*}$ definiert man $\begin{eqnarray*} \| x\|_p = \sqrt[p] { |x_1|^p + |x_2|^p + \ldots + |x_n|^p } \end{eqnarray*}$ .

Bei $\begin{eqnarray*} p = 2 \end{eqnarray*}$ erhält man die euklidische Norm.

22.05.2020, 14:01

dsyleixa

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danke, alles klar, genau so mit ² unter der Wurzel wird ja dann auch die Länge eines Vektors definiert bzw. ausgerechnet!

22.05.2020, 14:21

Elvis

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Fast alles klar. Mit Länge eines Vektors bezeichnet man seine Norm, und die ist wieder abhängig vom Skalarprodukt, und davon gibt es nicht nur das Standardskalarprodukt sondern viele weitere.

22.05.2020, 14:56

dsyleixa

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Zitat:

Original von Elvis
Fast alles klar. Mit Länge eines Vektors bezeichnet man seine Norm, und die ist wieder abhängig vom Skalarprodukt, und davon gibt es nicht nur das Standardskalarprodukt sondern viele weitere.

Wozu, mit welchem Sinn oder Zweck, würde denn z.B. eine p-Norm=3 oder =4 im R³ definiert werden, und wie sähe dazu das Skalarprodukt aus?

22.05.2020, 15:10

Elvis

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Die p-Normen hat IfindU oben schon aufgeschrieben. Normen sind nicht notwendig von Skalarprodukten induziert, das gilt nur für Skalarproduktraeume, einer echten Unterklasse der normierten Vektorräume. Unterschiedliche Skalarprodukte und Normen sind deswegen interessant, weil sie zu unterschiedlichen Topologien auf den Räumen führen können (aber nicht müssen).

22.05.2020, 15:18

dsyleixa

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ich bezog mich auf deine Aussage
"Mit Länge eines Vektors bezeichnet man seine Norm, und die ist wieder abhängig vom Skalarprodukt"
welchen Sinn oder Zweck hat es also, im R³ eine andere als die p=2-Norm (p=3? p=4?) zu etablieren, und wie wäre diese dann abhängig von welchem wie definierten Skalarprodukt?

22.05.2020, 15:44

Leopold

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Nimm ein anderes Skalarprodukt $\begin{align*} \sigma \end{align*}$ :

$\begin{align*} \sigma \left( x,y \right) = \sigma \left( (x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3) \right) = x_1y_1 + 2x_2y_2 + 3x_3y_3 + x_2y_3 + x_3y_2 \end{align*}$

Hier ist die Norm:

$\begin{align*} \left\| x \right\|_{\sigma} = \sqrt{{x_1}^2 + 2{x_2}^2 + 3{x_3}^2 + 2x_2x_3} = \sqrt{{x_1}^2 + {x_2}^2 + 2{x_3}^2 + \left( x_2 + x_3 \right)^2} \end{align*}$

22.05.2020, 17:11

dsyleixa

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ok, das ist jetzt zwar keine p=3 oder 4 Norm, aber warum/wozu würde man so etwas machen?
Und wozu andererseits würde man eine p=3 oder 4 Norm benutzen?
p=3 Norm hieße ja so etwas wie

||u|| = (3.Wurzel aus) (u1³ + u2³ + u3³)

22.05.2020, 17:38

IfindU

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Ein anschaulich interessanter Fall ist $\begin{eqnarray*} p = 1 \end{eqnarray*}$ . Diese Norm induziert die sogenannte Manhatten-Metrik. Die euklidische Metrik geht davon aus, du kannst von Punkt a zu Punkt b, indem du dich ohne Umwege dorthin bewegen kannst.
Wenn wir aber in einer Stadt mit quadratischen Layout bewegen, so stehen Gebäude im Weg und wir müssen den Straßen folgen.

Ob es schöne Beispiele für die anderen gibt müsste man mal Physiker fragen.

Noch als weiterer interessanter Punkt. Nur für $\begin{eqnarray*} p =2 \end{eqnarray*}$ stammt diese Norm durch ein Skalarprodukt. Alle anderen $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ stammen nicht durch eine.
Beweis: Alle Normen, welche durch ein Skalarprodukt induziert sind, erfüllen die Parallologramm-Gleichung $\begin{eqnarray*} \| x - y \|^2 + \| x + y \|^2 = 2 \|x\|^2 + 2\|y\|^2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ . Die weiteren $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ Norm erfüllen ähnlich aussehende Ungleichungen (Hanner'sche Ungleichung).

22.05.2020, 17:42

Elvis

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Warum steigt man auf Berge ? Weil sie da sind.
Warum untersucht man alle möglichen metrischen Räume ? Weil sie da sind.

Zur Übersicht siehe hier https://de.wikipedia.org/wiki/Metrischer_Raum insbesondere "Beispiele" und "Einordnung in die Hierarchie mathematischer Strukturen"

Es gibt Professoren, die für 7 Studenten 5 Semester lang Vorlesungen über "Topologische Vektorräume" halten und dabei über die Grenzen ihres eigenen Wissens hinausgehen (Originalton: "Dieses Semester versuche ich einen Satz zu beweisen, den ich selbst noch nicht richtig verstanden habe, bitte helfen Sie mir dabei."). Man weiß nie, welche Räume eines Tages in der Physik nützlich sein werden.

22.05.2020, 17:49

dsyleixa

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ICH steige NICHT auf Berge, weil sie da sind Big Laugh

Big Laugh

Aber Du warst es ja, der geschrieben hat, "mit Länge eines Vektors bezeichnet man seine Norm, und die ist wieder abhängig vom Skalarprodukt",
dann sag doch mal bitte, wozu man eine p=3 oder p=4 Norm verwendet, und wie dann ein Skalarprodukt dazu aussähe (das erkenne ich für p=3 oder 4 noch nicht)!

22.05.2020, 18:04

Elvis

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Nicht jede Norm wird von einem Skalarprodukt induziert, das hatte ich schon gesagt. In Hilberträumen, über die zu reden du angefangen hast, gibt es ein Skalarprodukt, das erzeugt eine Norm, die Norm eines Vektors ist die Länge des Vektors. Dieser Begriff ist also keineswegs eindeutig, weil der Vektorraum eines Hilbertraums viele verschiedene Skalarprodukte und Normen tragen kann.

Als Mathematiker machen wir uns keine Gedanken über die möglichen Anwendungen, die kann es geben oder auch nicht, wenn nicht heute dann in 1000 Jahren. Riemann hat auch nicht geahnt, dass seine gekrümmten Räume 50 Jahre später die Grundlage zu Einsteins Relativitätstheorie werden könnte.

22.05.2020, 18:38

dsyleixa

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dann haben wir aneinander vorbeigeredet, denn ich bezog mich ja ausschließlich auf die euklidischen p=2-Normen, abgeleitet von IfindU's Post, wo ich schrieb "alles klar, genau so mit ² unter der Wurzel wird ja dann auch die Länge eines Vektors definiert bzw. ausgerechnet".
Dein Post daraufhin war dann eher verwirrend.

22.05.2020, 18:55

Elvis

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Wir haben es geschafft, aneinander vorbei zu reden, weil wir uns noch nicht einig waren, dass die Begriffe "Norm eines Vektors" und "Länge eines Vektors" gleichbedeutend sind. "Länge eines Vektors" ist ein geometrisch konnotierter Begriff, und weil Vektoren im allgemeinen nichts mit Geometrie am Hut haben (sie haben auch meistens keinen Hut Augenzwinkern

Augenzwinkern

), spricht man besser von "Norm eines Vektors".

22.05.2020, 19:23

dsyleixa

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und ich meinte ja gerade die Länge, die geometrisch konnotiert ist.

22.05.2020, 19:33

Elvis

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Das verstehe ich, doch David Hilbert hat Hilberträume erfunden und erforscht, um halbtote und halblebendige Katzen zu berechnen. In der Quantenmechanik von Erwin Schrödinger geht es um Wellenfunktionen, und diese Vektoren haben eine Norm, aber was soll die geometrische Länge einer Wellenfunktion sein ? (https://de.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6dingergleichung)

22.05.2020, 19:49

dsyleixa

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im Augenblick ging es mir nur um das Verständnis des R³ und ob der mit dem Standardskalarprodukt ein Hilbertraum ist (was du fälschlich verneint hattest).
Andererseits sind die Winkel und Normen (Längen) im R³ als euklidischem Raum durchaus geometrisch motiviert, genau so kann man sie anschaulich darstellen (und so werden sie auch von S. Waldmann in seinem Lehrbuch eingeführt).

n-dim oder sogar unendlich-dim Hilberträume in der Quantenmechanik kommt später.

22.05.2020, 19:54

Elvis

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Der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ mit dem Standardskalarprodukt ist ein Hilbertraum.

22.05.2020, 19:55

dsyleixa

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was soll das jetzt? genau das habe ich gesagt. Lies noch mal ganz oben nach.
Aber DU hast geschrieben, er wäre es nicht, weder mit implizitem noch mit explizitem Skalarprodukt.
Ich hab das Gefühl, du bist reichlich besserwisserisch drauf, und das ist definitiv nicht hilfreich.

22.05.2020, 19:57

Elvis

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"ist der R³ über dem Körper der Reellen Zahlen mit den impliziten Körper-Rechenregeln "automatisch" schon ein Hilbertraum"
Der Vektorraum selbst ist kein Hilbertraum, und automatisch schon gar nicht.

Ich versuche, exakt zu formulieren. Nicht besserwisserisch, nur genau.

Das Skalarprodukt ist auch nicht nur eine Schreibweise mit bestimmten Regeln, es ist eine Funktion mit bestimmten Eigenschaften.

22.05.2020, 19:59

dsyleixa

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Zitat:

Original von Elvis
"ist der R³ über dem Körper der Reellen Zahlen mit den impliziten Körper-Rechenregeln "automatisch" schon ein Hilbertraum"
Der Vektorraum selbst ist kein Hilbertraum, und automatisch schon gar nicht.

Ich versuche, exakt zu formulieren. Nicht besserwisserisch, nur genau.

doch, ist er schon, lies mal die Folge-Posts durch.
Was du schreibst, ist nicht nur besserwisserisch sondern schon geradezu verwirrend, verfälschend und korinthen********.

22.05.2020, 20:11

zweiundvierzig

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Solange man Mathe und keine Logik machen will, sind Sätze wie " $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist eine Gruppe" (oft) okay.

Aber ganz grundsätzlich gibt es einen Unterschied zwischen Struktur und Eigenschaft, und der wird relevant, wenn es an die Grundlagen geht.

22.05.2020, 20:14

dsyleixa

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Solange man Mathe und keine Logik machen will, sind Sätze wie " $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist eine Gruppe" (oft) okay.

Aber ganz grundsätzlich gibt es einen Unterschied zwischen Struktur und Eigenschaft, und der wird relevant, wenn es an die Grundlagen geht.

das bestreite ich gar nicht, aber man kann meine TOP-Frage durchaus verständlich und trotzdem korrekt beantworten wie es IfindU und Stefan dankenswerterweise getan haben.

22.05.2020, 21:55

Elvis

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Mathematik ist eine Wissenschaft, die von Korinthenkackern für Korinthenkacker erfunden wurde. fröhlich

fröhlich

22.05.2020, 22:15

jester.

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Vielleicht ist dieser Artikel noch eine Hilfe:
https://www.matheplanet.com/default3.htm...w.google.com%2F

23.05.2020, 09:31

dsyleixa

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ja, danke, das ist im Wesentlichen das, was IfindU und Leopold im 5. und 6. Post erläutert haben und bringt es mit den "verkürzten Schreibweisen" noch mal auf den Punkt

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