Invariante Verteilungen bestimmen

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hello123 Auf diesen Beitrag antworten »
Invariante Verteilungen bestimmen
Meine Frage:
Hallo,

ich brauche eure Hilfe bei der folgende Aufgabe:
Es sollen zu den folgenden Übergangsmatrizen P jeweils alle invarianten Verteilungen bestimmt werden. Vor allem habe ich Probleme ab der zweiten Übergangsmatrix, da die Matrix unendlich groß ist.

Vielen Dank im Voraus.


Meine Ideen:
Bei der ersten Übergangsmatrix habe ich ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen der Form xP = x aufgestellt und gelöst. Wäre hier die invariante Verteilung (2/7, 3/7, 2/7) richtig?
Wäre die invariante Verteilungen für die zweite, dritte und vierte Übergangsmatrix jeweils (1/t, 1/t, 1/t,...)? Wäre das alle invarianten Verteilungen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

1) ist richtig, aber beim Rest liegst du komplett daneben.

Versuch doch einfach mal, den unendlichen Zeilenvektor einer mutmaßlichen stationären Verteilung jeweils links dranzumultiplizieren, das kann bei so dünn besetzten Matrizen ja nicht das Problem sein. Und dann muss als Ergebnis ja wieder rauskommen - und allein das sollte die RICHTIGEN Erkenntnisse über diesen Vektor liefern.
hello123 Auf diesen Beitrag antworten »

Für die zweite Übergangsmatrix würde ich dann folgende Gleichungen erhalten:




usw.
Ist die stationäre Verteilung gleich ?

Für die dritte Übergangsmatrix würde ich folgende Gleichungen erhalten:




usw.
Folgt daraus nicht, dass ? Warum ist die stationäre Verteilung dann nicht (1/n, 1/n, 1/n, ...)?

Für die vierte Übergangsmatrix würde ich folgende Gleichungen erhalten:



usw.
Folgt hier nicht ebenfalls und die stationäre Verteilung ist dieselbe wie für die dritte Übergangsmatrix?
Die Summe der Einträge einer stationären Verteilung sollte doch 1 ergeben oder liege ich da falsch?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hello123
Für die zweite Übergangsmatrix würde ich dann folgende Gleichungen erhalten:




Richtig. Diese Gleichungen sind offensichtlich IMMER erfüllt. D.h., jede Wahrscheinlichkeitsverteilung auf ist dann stationär.

Zitat:
Original von hello123
Für die dritte Übergangsmatrix würde ich folgende Gleichungen erhalten:




Falsch gerechnet, zumindest den Start: Der lautet , und dann geht es mit


usw. weiter. Das bedeutet, dass ab Index 2 alle einander gleich sind - und das geht nur mit . Damit ist der Wahrscheinlichkeitssumme 1 wegen . Wir haben also nur die eine stationäre Verteilung .

Zitat:
Original von hello123
Für die vierte Übergangsmatrix würde ich folgende Gleichungen erhalten:



Ok, die erste Gleichung vergessen, den Rest diesmal richtig gerechnet, aber erneut falsch gedeutet: Ähnlich wie bei 3) müssen alle einander gleich sein. Diesmal aber beginnend beim ersten Index. Das entstehende für alle ist aber keine Verteilung und damit auch keine stationäre Verteilung.
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