Riesiger Ausdruck aus Matrix-Vektor-Produkten - wie umformen? |
22.05.2020, 18:16 | Der_Apfel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Riesiger Ausdruck aus Matrix-Vektor-Produkten - wie umformen? tatsächlich die Inverse zu diesem symmetrischen Rang-2-Update: ist, wobei eine symmetrische, positiv definite Matrix in ist und . D.h. man kann ausnutzen, dass und . Wie ihr euch vorstellen könnt, gibt das einen riesigen Ausdruck. Noch dazu bin ich nicht besonders fit im Umformen oder Kürzen von Matrix-Vektor-Produkten etc. Ich hab mal so angefangen: Macht es überhaupt Sinn so weiter umzuformen? Ich wüsste nicht wo ich da noch was vereinfachen kann Edit: Okay, ich hab inzwischen das erreicht, aber wahrscheinlich sind hier schon ein Haufen Fehler drinn? |
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23.05.2020, 20:45 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Riesiger Ausdruck aus Matrix-Vektor-Produkten - wie umformen? Der ganze Ausdruck sieht schräg aus. Kann es sein, dass vorausgesetzt wird? Sonst ist der Ausdruck für nicht definiert. Andernfalls ist es nur für kritisch, und dort gilt es sicher nicht. Edit: Für gilt die Aussage wenigstens, aber dort kürzen sich viele Terme aus. |
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24.05.2020, 17:08 | Der_Apfel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Riesiger Ausdruck aus Matrix-Vektor-Produkten - wie umformen? Hi, danke für deine Antwort. Ja, die Quasi-Newton-Gleichung ist erfüllt, also . Es geht hier konkret um die Inverse durch Sherman-Morrison-Woodbury die auf zwei Rang-1-Modifikationen angewendet wurde. Es wäre sogar gut, wenn sich viele Terme rauskürzen, am Ende soll nämlich die Einheitsmatrix rauskommen Aber in den Folien der Vorlesung finde ich nur (also quasi das Update ist mit gemeint), deswegen war ich mir nicht sicher ob man das anwenden darf. Ich probiere das mal, was anderes bleibt mir eh nicht übrig. Edit: Damit bin ich jetzt soweit auf das gekommen: Hm..irgendwo noch ein Fehler drinn |
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24.05.2020, 18:12 | Der_Apfel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sicher, dass gilt? Dann würde sich die Formel für die 2x Rang-1-Modifikation: ja schon vereinfachen zu: und da wäre man dann bei |
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24.05.2020, 18:38 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Riesiger Ausdruck aus Matrix-Vektor-Produkten - wie umformen? Die Vermutung kam mir nur, da der Term dann häufiger wohldefiniert war. Dies war aber nur eine Vermutung. Basierend darauf
ein paar Vereinfachungen für den vierten Term. Die Rechenregeln sollte auf der Verträglichkeit des dyadischen Produkts mit dem Skalarprodukt (s. Wik) hindeuten. Bitte prüfe das noch einmal nach, dass es mit dem Matrix-Vektorprodukt ebenfalls funktioniert (Tipp: Das Matrix-Vektorprodukt sind einfach nur viele Skalarprodukte). Davon ausgehend: . Sofern es stimmt, sind die Terme einfach Skalare und man die dann mit dem Nenner kürzen (nachdem es summandenweise in verschiedene Brüche geteilt hat). Dann erkennt man gleich die Ähnlichkeit zu den anderen Brüchen. |
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24.05.2020, 18:56 | Der_Apfel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hab nun nochmal komplett von vorne angefangen. Ich vermute schon, dass gilt ansonsten kommt man auf keinen grünen Zweig. Leider sind die beiden Ausdrücke im Zähler nicht gleich (zumindest laut Matlab mit Probewerten nicht). D.h. entweder ich hab mich irgendwo verrechnet oder das ist wieder nicht der richtige Ansatz. |
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24.05.2020, 19:00 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn es gilt, dann ist und damit gilt für den zweiten Term (vor dem Ausmultiplizieren) . Der dritte Bruch verschwindet sofort und es bleibt nur . Das meinte ich damit, dass sich vieles wegkürzt. |
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24.05.2020, 19:05 | Der_Apfel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, dann kann das wohl nicht stimmen. Hab leider keine Ahnung mehr wie es sonst funktionieren soll. Der andere Ausdruck ist rießig (falls er überhaupt stimmt): Hab angefangen die Brüche zusammen zu ziehen: |
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24.05.2020, 19:14 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Riesiger Ausdruck aus Matrix-Vektor-Produkten - wie umformen?
Ich meinte jetzt . Das ist der vierte Term (mit gedrehtem Vorzeichen.) Der dritte Term deines ersten Posts ist: . Die beiden heben sich nicht vollständig auf, aber die aller meisten Terme. |
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24.05.2020, 19:20 | Der_Apfel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso..ups. Hab gerade meinen ersten Post editiert damit er verständlicher wird Danke. Ich schau es mir nochmal an |
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24.05.2020, 20:38 | Der_Apfel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Für den 1. + 2. + 3. + 4. Term: Da erhalte ich dann: Wenn ich dann mit dem 5. Term weitermache: Da kann man doch was kürzen: Dann erhält man für den 5. Term: |
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24.05.2020, 20:45 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hier Beachte, dass , da das Skalarprodukt symmetrisch ist. Im letzten Term ist die Klammer ein Skalar und kommutiert mit den Matrizen. Damit kann man weitermachen und mit analogen Betrachtungen beim 6. Term sieht es doch ganz gut aus. |
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24.05.2020, 20:49 | Der_Apfel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hab ich grad selber auch gemerkt Danke dir Edit: Weiter mit dem 6. Term (beim 2. Term kann man denke ich nichts kürzen): 7. Term: 8. Term: Dann bleibt: Hmm..ich vermute ich hab was übersehen Edit: Wenn ich den letzten Term des 5. Terms einfach so lasse: dann ist das laut Matlab das gleiche wie: Passt also - Wunderbar |
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25.05.2020, 08:33 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es ist das gleiche, da ein Skalar ist und damit mit den Vektoren kommutiert. |
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25.05.2020, 09:14 | Der_Apfel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank nochmal an dich. Das hätte mich sonst noch mehr graue Haare gekostet. |
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25.05.2020, 10:56 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gerne. Übrigens mit der Identifikation sind die Rechnungen einfach das Assoziativgesetz. Ich denke das ist die eleganteste Erklärung, wobei die Wohldefiniertheit etc. noch zu zeigen wäre. |
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