Riesiger Ausdruck aus Matrix-Vektor-Produkten - wie umformen?

22.05.2020, 18:16

Der_Apfel

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Riesiger Ausdruck aus Matrix-Vektor-Produkten - wie umformen?

Man soll zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} <br /> B_{n+1} = B_n + \frac{(s_n - B_ny_n)(s_n)^T + s_n(s_n - B_ny_n)^T}{(y_n)^Ts_n} - \frac{(s_n - B_ny_n)^Ty_ns_n(s_n)^T}{((y_n)^Ts_n)^2}<br /> \end{eqnarray*}$

tatsächlich die Inverse zu diesem symmetrischen Rang-2-Update:

$\begin{eqnarray*} <br /> A_{n+1} = A_n - \frac{A_ns_n(A_ns_n)^T}{(s_n)^TA_ns_n} + \frac{y_n(y_n)^T}{(y_n)^Ts_n} <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

ist, wobei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine symmetrische, positiv definite Matrix in $\begin{eqnarray*} R^{n\times n} \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} s, y\in R ^n \end{eqnarray*}$ .
D.h. man kann ausnutzen, dass $\begin{eqnarray*} A^T = A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (A^{-1})^T = A^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Wie ihr euch vorstellen könnt, gibt das einen riesigen Ausdruck. Noch dazu bin ich nicht besonders fit im Umformen oder Kürzen von Matrix-Vektor-Produkten etc.

Ich hab mal so angefangen:

$\begin{eqnarray*} <br /> I - \frac{s(As)^T}{s^TAs} + \frac{A^{-1}yy^T}{y^Ts} + \frac{(s - A^{-1}y)s^TA + s(s - A^{-1}y)^TA}{y^Ts} - \frac{(s - A^{-1}y)s^TAs(As)^T + s(s - A^{-1}y)^TAs(As)^T}{y^Tss^TAs} + \frac{(s - A^{-1}y)s^Tyy^T + s(s - A^{-1}y)^Tyy^T}{(y^Ts)^2} - \frac{(s - A^{-1}y)^Tyss^TA}{(y^Ts)^2} + \frac{(s - A^{-1}y)^Tyss^TAs(As)^T}{(y^Ts)^2s^TAs} - \frac{(s - A^{-1}y)^Tyss^Tyy^T}{(y^Ts)^2y^Ts}<br /> \end{eqnarray*}$

Macht es überhaupt Sinn so weiter umzuformen? Ich wüsste nicht wo ich da noch was vereinfachen kann traurig

traurig

Edit: Okay, ich hab inzwischen das erreicht, aber wahrscheinlich sind hier schon ein Haufen Fehler drinn?

$\begin{eqnarray*} <br /> I - \frac{ss^TA}{s^TAs} + \frac{A^{-1}yy^T}{y^Ts} + \frac{ss^TA - A^{-1}ys^TA + s(s^T - (A^{-1}y)^T)A}{y^Ts} - \frac{ss^TAss^TA - A^{-1}ys^TAss^TA + s(s^T - (A^{-1}y)^T)Ass^TA}{y^Tss^TAs} + \frac{ss^Tyy^T - A^{-1}ys^Tyy^T + s(s^T - (A^{-1}y)^T)yy^T}{(y^Ts)^2} -\frac{(s^T - (A^{-1}y)^T)yss^TA}{(y^Ts)^2} + \frac{(s^T - (A^{-1}y)^T)yss^TAss^TA}{(y^Ts)^2s^TAs} - \frac{(s^T - (A^{-1}y)^T)yss^Tyy^T}{(y^Ts)^2y^Ts}<br /> \end{eqnarray*}$

23.05.2020, 20:45

IfindU

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RE: Riesiger Ausdruck aus Matrix-Vektor-Produkten - wie umformen?
Der ganze Ausdruck sieht schräg aus. Kann es sein, dass $\begin{eqnarray*} y = A s \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt wird? Sonst ist der Ausdruck für $\begin{eqnarray*} y \perp s \end{eqnarray*}$ nicht definiert. Andernfalls ist es nur für $\begin{eqnarray*} s = 0 \end{eqnarray*}$ kritisch, und dort gilt es sicher nicht.

Edit: Für $\begin{eqnarray*} y = As \end{eqnarray*}$ gilt die Aussage wenigstens, aber dort kürzen sich viele Terme aus.

24.05.2020, 17:08

Der_Apfel

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RE: Riesiger Ausdruck aus Matrix-Vektor-Produkten - wie umformen?
Hi,

danke für deine Antwort.

Ja, die Quasi-Newton-Gleichung ist erfüllt, also $\begin{eqnarray*} As = y \end{eqnarray*}$ .

Es geht hier konkret um die Inverse durch Sherman-Morrison-Woodbury die auf zwei Rang-1-Modifikationen angewendet wurde.

Es wäre sogar gut, wenn sich viele Terme rauskürzen, am Ende soll nämlich die Einheitsmatrix rauskommen Freude

Freude

Aber in den Folien der Vorlesung finde ich nur $\begin{eqnarray*} A_{n+1}s = y \end{eqnarray*}$ (also quasi das Update ist mit $\begin{eqnarray*} A_{n+1} \end{eqnarray*}$ gemeint), deswegen war ich mir nicht sicher ob man das anwenden darf.

Ich probiere das mal, was anderes bleibt mir eh nicht übrig.

Edit: Damit bin ich jetzt soweit auf das gekommen:

$\begin{eqnarray*} <br /> I - \frac{sy^T}{y^Ts} + \frac{A^{-1}yy^T}{y^Ts} + \frac{2sy^T - A^{-1}yy^T - sy^T}{y^Ts} - \frac{\left(sy^T + sy^T - A^{-1}yy^T - sy^T\right)sy^T}{(y^Ts)^2} + \frac{2ss^Tyy^T - A^{-1}ys^Tyy^T - s(A^{-1}y)^Tyy^T}{(y^Ts)^2} - \frac{(s - A^{-1}y)^Tysy^T}{(y^Ts)^2} + \frac{(s - A^{-1}y)^Tysy^Tsy^T}{(y^Ts)^3} - \frac{(s - A^{-1}y)^Tyss^Tyy^T}{(y^Ts)^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> I - \frac{sy^T + A^{-1}yy^T + 2sy^T - A^{-1}yy^T - sy^T}{y^Ts} - \frac{sy^Tsy^T + sy^Tsy^T - A^{-1}yy^Tsy^T - sy^Tsy^T + 2ss^Tyy^T - A^{-1}ys^Tyy^T - sy^TA^{-1}yy^T - s^Tysy^T + y^TA^{-1}ysy^T}{(y^Ts)^2} + \frac{s^Tysy^Tsy^T - y^TA^{-1}ysy^Tsy^T - s^Tyss^Tyy^T + y^TA^{-1}yss^Tyy^T}{(y^Ts)^3}<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> I - \frac{2sy^T}{y^Ts} - \frac{-A^{-1}yy^Tsy^T - sy^TA^{-1}yy^T + 2ss^Tyy^T}{(y^Ts)^2}<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> I - \frac{2sy^Ty^Ts + A^{-1}yy^Tsy^T + sy^TA^{-1}yy^T - 2ss^Tyy^T}{(y^Ts)^2}<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> I - \frac{A^{-1}yy^Tsy^T + sy^TA^{-1}yy^T}{(y^Ts)^2}<br /> \end{eqnarray*}$

Hm..irgendwo noch ein Fehler drinn

24.05.2020, 18:12

Der_Apfel

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Sicher, dass $\begin{eqnarray*} As = y \end{eqnarray*}$ gilt? Dann würde sich die Formel für die 2x Rang-1-Modifikation:

$\begin{eqnarray*} <br /> A_{n+1} = A_n - \frac{A_ns_n(A_ns_n)^T}{(s_n)^TA_ns_n} + \frac{y_n(y_n)^T}{(y_n)^Ts_n}<br /> \end{eqnarray*}$

ja schon vereinfachen zu:

$\begin{eqnarray*} <br /> A_{n+1} = A_n - \frac{y_n(y_n)^T}{(s_n)^Ty} + \frac{y_n(y_n)^T}{(y_n)^Ts_n}<br /> \end{eqnarray*}$

und da $\begin{eqnarray*} s^Ty = y^Ts \end{eqnarray*}$ wäre man dann bei $\begin{eqnarray*} A_{n+1} = A_n \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

24.05.2020, 18:38

IfindU

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RE: Riesiger Ausdruck aus Matrix-Vektor-Produkten - wie umformen?
Die Vermutung $\begin{eqnarray*} As = y \end{eqnarray*}$ kam mir nur, da der Term dann häufiger wohldefiniert war. Dies war aber nur eine Vermutung.
Basierend darauf

Zitat:

Original von Der_Apfel
$\begin{eqnarray*} I - \frac{ss^TA}{s^TAs} + \frac{A^{-1}yy^T}{y^Ts} + \frac{ss^TA - A^{-1}ys^TA + s(s^T - (A^{-1}y)^T)A}{y^Ts} - \frac{ss^TAss^TA - A^{-1}ys^TAss^TA + s(s^T - (A^{-1}y)^T)Ass^TA}{y^Tss^TAs} + \frac{ss^Tyy^T - A^{-1}ys^Tyy^T + s(s^T - (A^{-1}y)^T)yy^T}{(y^Ts)^2} -\frac{(s^T - (A^{-1}y)^T)yss^TA}{(y^Ts)^2} + \frac{(s^T - (A^{-1}y)^T)yss^TAss^TA}{(y^Ts)^2s^TAs} - \frac{(s^T - (A^{-1}y)^T)yss^Tyy^T}{(y^Ts)^2y^Ts} \end{eqnarray*}$

ein paar Vereinfachungen für den vierten Term. Die Rechenregeln sollte auf der Verträglichkeit des dyadischen Produkts mit dem Skalarprodukt (s. Wik) hindeuten. Bitte prüfe das noch einmal nach, dass es mit dem Matrix-Vektorprodukt ebenfalls funktioniert (Tipp: Das Matrix-Vektorprodukt sind einfach nur viele Skalarprodukte). Davon ausgehend:
$\begin{eqnarray*} \frac{ss^TAss^TA - A^{-1}ys^TAss^TA + s(s^T - (A^{-1}y)^T)Ass^TA}{[y^Ts][s^TAs]}&= \frac{s[s^TAs]s^TA - A^{-1}y[s^TAs]s^TA + s(s^T - (A^{-1}y)^T)Ass^TA}{[y^Ts][s^TAs]}\\&= \frac{s[s^TAs]s^TA - A^{-1}y[s^TAs]s^TA + s(s^T - y^TA^{-1})Ass^TA}{[y^Ts][s^TAs]}\\&= \frac{s[s^TAs]s^TA - A^{-1}y[s^TAs]s^TA + s[s^TAs]s^TA - s[y^Ts]s^TA}{[y^Ts][s^TAs]} \end{eqnarray*}$ .

Sofern es stimmt, sind die Terme einfach Skalare und man die dann mit dem Nenner kürzen (nachdem es summandenweise in verschiedene Brüche geteilt hat). Dann erkennt man gleich die Ähnlichkeit zu den anderen Brüchen.

24.05.2020, 18:56

Der_Apfel

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Ich hab nun nochmal komplett von vorne angefangen. Ich vermute schon, dass $\begin{eqnarray*} As = y \end{eqnarray*}$ gilt ansonsten kommt man auf keinen grünen Zweig.

$\begin{eqnarray*} \left( A^{-1} + \frac{(s - A^{-1}y)s^T + s(s - A^{-1}y)^T}{y^Ts} - \frac{(s - A^{-1}y)^Tyss^T}{(y^Ts)^2} \right) \cdot A<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> I + \frac{(ss^T - A^{-1}ys^T + ss^T - sy^TA^{-1})A}{y^Ts} - \frac{s^Tyss^TA - y^TA^{-1}yss^TA}{(y^Ts)^2} = I + \frac{ss^TA - A^{-1}ys^TA + ss^TA - sy^T}{y^Ts} - \frac{s^Tys(As)^T - y^TA^{-1}ys(As)^T}{(y^Ts)^2} = I - \frac{y^Tss(As)^T - y^TsA^{-1}y(As)^T + y^Tss(As)^T - y^Tssy^T}{(y^Ts)^2} - \frac{s^Tysy^T - y^TA^{-1}ysy^T}{(y^Ts)^2} = I - \frac{y^Tssy^T - y^TsA^{-1}yy^T - s^Tysy^T + y^TA^{-1}ysy^T}{(y^Ts)^2} = I - \frac{y^TA^{-1}ysy^T - y^TsA^{-1}yy^T}{(y^Ts)^2}<br /> \end{eqnarray*}$

Leider sind die beiden Ausdrücke im Zähler nicht gleich (zumindest laut Matlab mit Probewerten nicht). D.h. entweder ich hab mich irgendwo verrechnet oder das ist wieder nicht der richtige Ansatz.

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24.05.2020, 19:00

IfindU

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Zitat:

Original von Der_Apfel
Ich hab nun nochmal komplett von vorne angefangen. Ich vermute schon, dass $\begin{eqnarray*} As = y \end{eqnarray*}$ gilt ansonsten kommt man auf keinen grünen Zweig.

$\begin{eqnarray*} \left( A^{-1} + \frac{(s - A^{-1}y)s^T + s(s - A^{-1}y)^T}{y^Ts} - \frac{(s - A^{-1}y)^Tyss^T}{(y^Ts)^2} \right) \cdot A<br /> \end{eqnarray*}$

Wenn es gilt, dann ist $\begin{eqnarray*} A^{-1} y = s \end{eqnarray*}$ und damit gilt für den zweiten Term (vor dem Ausmultiplizieren)
$\begin{eqnarray*} (s - A^{-1}y)s^T + s(s - A^{-1}y)^T = (s - s)s^T + s( s- s)^T = 0 + 0 = 0 \end{eqnarray*}$ . Der dritte Bruch verschwindet sofort und es bleibt nur $\begin{eqnarray*} A^{-1} A = I \end{eqnarray*}$ .

Das meinte ich damit, dass sich vieles wegkürzt.

24.05.2020, 19:05

Der_Apfel

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Okay, dann kann das wohl nicht stimmen. Hab leider keine Ahnung mehr wie es sonst funktionieren soll. Der andere Ausdruck ist rießig (falls er überhaupt stimmt):

$\begin{eqnarray*} <br /> I - \frac{y^Tsy^Tss(As)^T}{y^Tsy^Ts(As)^Ts} + \frac{y^Ts\left(A^{-1}yy^T + 2s(As)^T - A^{-1}y(As)^T - sy^T\right)(As)^Ts}{y^Tsy^Ts(As)^Ts} - \frac{y^Ts\left( s(As)^T + s(As)^T - A^{-1}y(As)^T - sy^T\right)s(As)^T}{y^Tsy^Ts(As)^Ts} + \frac{\left(2ss^Tyy^T - A^{-1}ys^Tyy^T - sy^TA^{-1}yy^T - s^Tys(As)^T + y^TA^{-1}ys(As)^T\right)(As)^Ts}{y^Tsy^Ts(As)^Ts} + \frac{(s-A^{-1}y)^Tys(As)^Ts(As)^T}{y^Tsy^Ts(As)^Ts} - \frac{(s - A^{-1}y)^Tyss^Tyy^T}{(y^Ts)^3} \end{eqnarray*}$

Hab angefangen die Brüche zusammen zu ziehen:

$\begin{eqnarray*} <br /> - \frac{y^Tsy^Tss(As)^T}{y^Tsy^Ts(As)^Ts} + \frac{y^Ts\left(A^{-1}yy^T + 2s(As)^T - A^{-1}y(As)^T - sy^T\right)(As)^Ts}{y^Tsy^Ts(As)^Ts} = \frac{-(y^Ts)^2s(As)^T + \left(y^TsA^{-1}yy^T + 2y^Tss(As)^T - y^TsA^{-1}y(As)^T - y^Tssy^T\right)(As)^Ts}{(y^Ts)^2(As)^Ts} = \frac{(y^Ts)^2s(As)^T + y^TsA^{-1}yy^T(As)^Ts + 2y^Tss(As)^T(As)^Ts - y^TsA^{-1}y(As)^T(As)^Ts - y^Tssy^T(As)^Ts}{(y^Ts)^2(As)^Ts}<br /> \end{eqnarray*}$

24.05.2020, 19:14

IfindU

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RE: Riesiger Ausdruck aus Matrix-Vektor-Produkten - wie umformen?

Zitat:

Original von IfindU
Davon ausgehend:
$\begin{eqnarray*} \frac{ss^TAss^TA - A^{-1}ys^TAss^TA + s(s^T - (A^{-1}y)^T)Ass^TA}{[y^Ts][s^TAs]}&=& [..] \\ &=& \frac{s[s^TAs]s^TA - A^{-1}y[s^TAs]s^TA + s[s^TAs]s^TA - s[y^Ts]s^TA}{[y^Ts][s^TAs]} \end{eqnarray*}$ .

Ich meinte jetzt
$\begin{eqnarray*} \frac{s[s^TAs]s^TA - A^{-1}y[s^TAs]s^TA + s[s^TAs]s^TA - s[y^Ts]s^TA}{[y^Ts][s^TAs]}&=& \frac{s[s^TAs]s^TA}{[y^Ts][s^TAs]} - \frac{A^{-1}y[s^TAs]s^TA}{[y^Ts][s^TAs]} + \frac{s[s^TAs]s^TA}{[y^Ts][s^TAs]} - \frac{s[y^Ts]s^TA}{[y^Ts][s^TAs]}\\<br /> &=& \frac{ss^TA}{[y^Ts]} - \frac{A^{-1}ys^TA}{[y^Ts]} + \frac{ss^TA}{[y^Ts]} - \frac{ss^TA}{[s^TAs]} \end{eqnarray*}$ .

Das ist der vierte Term (mit gedrehtem Vorzeichen.) Der dritte Term deines ersten Posts ist: $\begin{eqnarray*} \frac{ss^TA - A^{-1}ys^TA + s(s^T - (A^{-1}y)^T)A}{y^Ts} \end{eqnarray*}$ .

Die beiden heben sich nicht vollständig auf, aber die aller meisten Terme.

24.05.2020, 19:20

Der_Apfel

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Achso..ups. Hab gerade meinen ersten Post editiert damit er verständlicher wird Hammer

Hammer

Danke. Ich schau es mir nochmal an

24.05.2020, 20:38

Der_Apfel

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Für den 1. + 2. + 3. + 4. Term:

$\begin{eqnarray*} <br /> I - \frac{ss^TA}{s^TAs} + \frac{A^{-1}yy^T}{y^Ts} + \frac{ss^TA}{y^Ts} - \frac{A^{-1}ys^TA}{y^Ts} + \frac{ss^TA}{y^Ts} - \frac{sy^T}{y^Ts} - \frac{ss^TA}{y^Ts} + \frac{A^{-1}ys^TA}{y^Ts} - \frac{ss^TA}{y^Ts} + \frac{ss^TA}{s^TAs} \end{eqnarray*}$

Da erhalte ich dann:

$\begin{eqnarray*} <br /> I + \frac{A^{-1}yy^T}{y^Ts} + \frac{ss^TA}{y^Ts} - \frac{sy^T}{y^Ts} - \frac{ss^TA}{y^Ts} = I + \frac{A^{-1}yy^T}{y^Ts} - \frac{sy^T}{y^Ts} \end{eqnarray*}$

Wenn ich dann mit dem 5. Term weitermache:

$\begin{eqnarray*} \frac{ss^Tyy^T}{(y^Ts)^2} - \frac{A^{-1}ys^Tyy^T}{(y^Ts)^2} + \frac{ss^Tyy^T}{(y^Ts)^2} - \frac{sy^TA^{-1}yy^T}{(y^Ts)^2} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} s^Ty = y^Ts \end{eqnarray*}$ kann man doch was kürzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{s[s^Ty]y^T}{[y^Ts]y^Ts} = \frac{sy^T}{y^Ts} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{A^{-1}y[s^Ty]y^T}{[y^Ts]y^Ts} = \frac{A^{-1}yy^T}{y^Ts} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{s[s^Ty]y^T}{[y^Ts]y^Ts} = \frac{sy^T}{y^Ts} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{s[y^TA^{-1}y]y^T}{[y^Ts]y^Ts} = \frac{y^TA^{-1}y}{y^Ts} \end{eqnarray*}$

Dann erhält man für den 5. Term:

$\begin{eqnarray*} \frac{sy^T}{y^Ts} - \frac{A^{-1}yy^T}{y^Ts} + \frac{sy^T}{y^Ts} - \frac{y^TA^{-1}y}{y^Ts} \end{eqnarray*}$

24.05.2020, 20:45

IfindU

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Zitat:

Original von Der_Apfel
Wenn ich dann mit dem 5. Term weitermache:
$\begin{eqnarray*} \frac{ss^Tyy^T}{(y^Ts)^2} - \frac{A^{-1}ys^Tyy^T}{(y^Ts)^2} + \frac{ss^Tyy^T}{(y^Ts)^2} - \frac{sy^TA^{-1}yy^T}{(y^Ts)^2} \end{eqnarray*}$

Hier
$\begin{eqnarray*} \frac{s[s^Ty]y^T}{(y^Ts)^2} - \frac{A^{-1}y[s^Ty]y^T}{(y^Ts)^2} + \frac{s[s^Ty]y^T}{(y^Ts)^2} - \frac{s[y^TA^{-1}y]y^T}{(y^Ts)^2} \end{eqnarray*}$
Beachte, dass $\begin{eqnarray*} s^T y = y^T s \end{eqnarray*}$ , da das Skalarprodukt symmetrisch ist. Im letzten Term ist die Klammer ein Skalar und kommutiert mit den Matrizen.

Damit kann man weitermachen und mit analogen Betrachtungen beim 6. Term sieht es doch ganz gut aus.

24.05.2020, 20:49

Der_Apfel

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Hab ich grad selber auch gemerkt Freude

Freude

Danke dir

Edit: Weiter mit dem 6. Term (beim 2. Term kann man denke ich nichts kürzen):

$\begin{eqnarray*} -\frac{(s^T - (A^{-1}y)^T)yss^TA}{(y^Ts)^2} = - \frac{s^Tyss^TA}{(y^Ts)^2} + \frac{y^TA^{-1}yss^TA}{(y^Ts)^2} = - \frac{[s^Ty]ss^TA}{[y^Ts]y^Ts} + \frac{y^TA^{-1}yss^TA}{(y^Ts)^2} = - \frac{ss^TA}{y^Ts} + \frac{y^TA^{-1}yss^TA}{(y^Ts)^2} \end{eqnarray*}$

7. Term:

$\begin{eqnarray*} \frac{(s^T - (A^{-1}y)^T)yss^TAss^TA}{(y^Ts)^2s^TAs} = \frac{s^Tyss^TAss^TA}{(y^Ts)^2s^TAs} - \frac{y^TA^{-1}yss^TAss^TA}{(y^Ts)^2s^TAs} = \frac{s^Tys[s^TAs]s^TA}{(y^Ts)^2[s^TAs]} - \frac{y^TA^{-1}ys[s^TAs]s^TA}{(y^Ts)^2[s^TAs]} = \frac{[s^Ty]ss^TA}{[y^Ts]y^Ts} - \frac{y^TA^{-1}yss^TA}{(y^Ts)^2} = \frac{ss^TA}{y^Ts} - \frac{y^TA^{-1}yss^TA}{(y^Ts)^2}<br /> \end{eqnarray*}$

8. Term:

$\begin{eqnarray*} -\frac{(s^T-y^TA^{-1})yss^Tyy^T}{(y^Ts)^2y^Ts} = -\frac{s^Tyss^Tyy^T}{(y^Ts)^2y^Ts} + \frac{y^TA^{-1}yss^Tyy^T}{(y^Ts)^2y^Ts} = -\frac{[s^Ty]s[s^Ty]y^T}{[y^Ts][y^Ts]y^Ts} + \frac{y^TA^{-1}ys[s^Ty]y^T}{(y^Ts)^2[y^Ts]} = -\frac{sy^T}{y^Ts} + \frac{y^TA^{-1}ysy^T}{(y^Ts)^2}<br /> \end{eqnarray*}$

Dann bleibt:

$\begin{eqnarray*} <br /> I + \frac{A^{-1}yy^T}{y^Ts} - \frac{sy^T}{y^Ts} + \frac{sy^T}{y^Ts} - \frac{A^{-1}yy^T}{y^Ts} + \frac{sy^T}{y^Ts} - \frac{y^TA^{-1}y}{y^Ts} - \frac{ss^TA}{y^Ts} + \frac{y^TA^{-1}yss^TA}{(y^Ts)^2} + \frac{ss^TA}{y^Ts} - \frac{y^TA^{-1}yss^TA}{(y^Ts)^2} - \frac{sy^T}{y^Ts} + \frac{y^TA^{-1}ysy^T}{(y^Ts)^2} = I - \frac{y^TA^{-1}y}{y^Ts} + \frac{y^TA^{-1}ysy^T}{(y^Ts)^2} \end{eqnarray*}$

Hmm..ich vermute ich hab was übersehen verwirrt

verwirrt

Edit: Wenn ich den letzten Term des 5. Terms einfach so lasse:

$\begin{eqnarray*} \frac{sy^TA^{-1}yy^T}{(y^Ts)^2} \end{eqnarray*}$

dann ist das laut Matlab das gleiche wie:

$\begin{eqnarray*} \frac{y^TA^{-1}ysy^T}{(y^Ts)^2} \end{eqnarray*}$

Passt also - Wunderbar Freude

Freude

25.05.2020, 08:33

IfindU

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Freude

Es ist das gleiche, da $\begin{eqnarray*} y^T A^{-1} y \end{eqnarray*}$ ein Skalar ist und damit mit den Vektoren kommutiert.

25.05.2020, 09:14

Der_Apfel

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Vielen Dank nochmal an dich.

Das hätte mich sonst noch mehr graue Haare gekostet.

25.05.2020, 10:56

IfindU

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Gerne. Übrigens mit der Identifikation $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{ 1 \times 1 } = \mathbb R \end{eqnarray*}$ sind die Rechnungen einfach das Assoziativgesetz. Ich denke das ist die eleganteste Erklärung, wobei die Wohldefiniertheit etc. noch zu zeigen wäre.

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