Beweis in Kreisberührung

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Hendrik73 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis in Kreisberührung
Meine Frage:
Wie kann man Aufgabe 551232 lösen?
https://www.mathematik-olympiaden.de/aufgaben/55/3/A55123b.pdf

Meine Ideen:
Kann einfach keinen Beweis finden
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe 551232 befindet sich NICHT auf diesem Aufgabenblatt A55123b.

EDIT: Ich habe sie schon - auf 55123a - gefunden!
Es ist besser, wenn du ein Bild direkt an deinen Beitrag anhängst, anstatt dass man erst ein PDF herunterladen muss (!)

[attach]51353[/attach]

mY+
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Beweis:
M sei der Mittelpunkt des Halbkreises, die Strecke MD sei mit a bezeichnet und MA = r (Radius des Halbkreises). Die Strecke CD sei h

Wegen des Höhensatzes im rechtwinkeligen Dreieck ABC ist , damit ist AC zu berechnen.

Benütze die Tatsache, dass der Berührungspunkt der beiden Kreise auf der Verbindungslinie der beiden Kreismittelpunkte liegt.
Berechne den Radius x des kleinen berührenden Kreises (quadr. Gleichung!), damit berechne dann AE.

...
[ Kontr.: AE = AC = ]

[attach]51355[/attach]

Bitte rechne dies nun einmal durch.
-------
Möglicherweise gibt es auch einen rein geometrischen Beweis, diesen habe ich jetzt nicht versucht ...

mY+
quadrierer Auf diesen Beitrag antworten »

Die folgenden gezeichneten Berechnungen zeigen, es gibt hier mehrere, sich unterscheidende Lösungszusammenhänge. Solche habe ich in den beiden Bildern von links nach rechts dargestellt und für verschiedene Grössen des Bogenverhältnisses ACB in übereinander liegenden Bildern.
[attach]51362[/attach]
[attach]51361[/attach]
Gegeben ist jeweils der schwarze Kreis und die schwarze Strecke DC. Die Lösungssequenz der nacheinander gezeichneten Kreis- und Gerade-Objekte beginnt jeweils mit einem blau gezeichneten Objekt, dem rote folgen, und bestimmt so den konkret nachvollziehbaren Lösungszusammenhang bis zum Punkt F. Durch die verschieden Objekte und deren Lage unterscheiden sich die hier gezeigten Lösungssequenzen bis zum gleichen Ergebnis.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
Ergänzende Linien
Mir ist nicht ganz klar, was du unter "gezeichnete Berechnungen" verstehst. Ich sehe nämlich keine Berechnungen und vor allem auch keinen diesbezüglichen Beweis.

Immerhin sind die ergänzenden Linien recht interessant, besonders die 2. Skizze im oberen Bild.
Darin ist nämlich ersichtlich, wie man zu dem Berührungspunkt der beiden Kreise und damit auch zum Mittelpunkt und Radius des kleinen Kreises gelangen kann.
Dies scheint allerdings derzeit nur eine geometrische Methode zu sein, welche auch erst einmal zu beweisen wäre.

Also kommen wir wieder zum Kern, in welcher Hinsicht beweisen deine Ergänzungen, dass die Längen von AC und AE gleich sind?

Den Hendrik interessiert dies leider nicht mehr, es ist immer das Gleiche.
Daher lasse ich es zunächst mal mit der Berechnung bewenden.

mY+
Hendrik73 Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz im Gegenteil, ich wäre sehr an einer geometrischen Lösung interessiert
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Und - kannst du mit der - relativ einfachen - Berechnung nichts anfangen?
(Du wolltest doch einen Beweis finden; die Rechnung kannst du selbst vervollständigen)
-------
Geometrie:
Ein Beweis - eventuell mittels der Skizzen von quadrierer - ist bislang noch offen.
Einfach würde er voraussichtlich nicht sein, derzeit fehlt mir die Zeit dazu.

mY+
quadrierer Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage nach dem elementar gezeichneten Berechnen ist leider mit nur wenigen Worten nicht befriedigend zu beantworten. Ich fange mal mit dem allgemeinen Begriff des Berechnens an:

Eine Definition für das mathematische Berechnen ist in der Fachliteratur und auch im Internet nicht zu finden. Die Aktionen des mathematischen Berechnens sind offenbar zu verschieden und zu vielfältig, um sie in einer kurzen Definition vollständig zu beschreiben. Den Begriff gezeichnetes Berechnen verwende ich deshalb, weil es mit stringenten nachvollziehbaren Rechengängen, die auch gezeichnete Grenzprozesse umfassen können, einem klar definiertem Ergebnis zustrebt und damit deutlich über das bekannte elementare Konstruieren hinaus geht. Beim Konstruieren entsteht das Ergebnis oftmals irgendwie überraschend. wie die Pi-Näherung von Kochanski (ca. 1683). Oder es ergibt sich ein Fünfeck, ohne dass von der Zahl 5 ausgegangen wird. Hingegen gibt es bei einem elementar gezeichnetem Berechnen des Kreisverhältnisses Pi oder eines 5-Ecks stringente anschaulich nachvollziehbare Rechengänge. Für Pi wird dabei vom Kreisumfang und für das Fünfeck von der Zahl 5 bzw. von einem Strecken-Verhältnis 5/1 ausgegangen.

Wie meine vorgezeigten 4 verschiedenen Beispiele eines gezeichneten Berechnens zeigen, wird hier ganz ohne Zuhilfenahme von Zahlen das gesuchtes Ergebnis ohne Probieren stringent herbei geschafft. Gesucht ist primär der Mittelpunkt F des Innenkreises, der jeweils die drei Begrenzungslinien des halben Kreissehnenabschnitts berührt. Die Sequenz der aufeinander folgenden Schritte, in denen bei jedem Bild zuerst das blaue Objekt und dann die roten Objekt nacheinander gezeichnet werden, erzeugen das Ergebnis mit vier verschiedenen Rechengängen / Rechenzusammenhängen. Der Unterschied in der Aufeinanderfolge der gezeichneten Objekte beginnt mit dem jeweils blau gezeichnetem Objekt. Anhand der elementar gezeichneten vier verschiedenen Berechnungen ist zu erkennen, dass es hier nicht nur den einen geometrischen Zugsammenhang gibt, der zum Ergebnis führt.

Es müssten, wenn überhaupt möglich, dann wohl 4 verschiedene Beweise erbracht werden, bei denen es streckenweise einige Ähnlichkeiten geben sollte.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Wegen des Höhensatzes im rechtwinkeligen Dreieck ABC ist , damit ist AC zu berechnen.

Benütze die Tatsache, dass der Berührungspunkt der beiden Kreise auf der Verbindungslinie der beiden Kreismittelpunkte liegt.
Berechne den Radius x des kleinen berührenden Kreises (quadr. Gleichung!), damit berechne dann AE.

[attach]51377[/attach]
Ja, das funktioniert soweit auch.

führt auf

alle x-Abhängigkeit auf eine Seite bringen



Ferner gilt durch den Höhensatz:

also

Die Länge d ist gegeben durch das Dreieck ADC:

einstzen von (2) liefert dann





Die Strecke AE soll die gleiche Länge haben wie die Strecke AC. Das bedeutet:

Einsetzen von (1) liefert:



Der Vergleich von (3) mit (4) liefert sodaß man daraus schließen kann, daß die Strecken AC und AE gleich lang sind.
quadrierer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos

Geometrie:
Ein Beweis - eventuell mittels der Skizzen von quadrierer - ist bislang noch offen.
Einfach würde er voraussichtlich nicht sein, derzeit fehlt mir die Zeit dazu.
mY+

Für die vierte meiner gezeichneten Berechnungen zeige ich nun einen solchen geometrischen Beweis vor.
[attach]51381[/attach]
Die Sequenz des gezeichneten Rechengangs, sprich die Abfolge der gezeichneten Objekte "Kreis und Gerade", kann anhand der angebrachten laufenden Nummern leichter verfolgt werden.
k ... Kreis, Kreisbogen
g ... Gerade, Strahl
k1 ... ein im ersten Schritt gezeichneter Kreis
S(g3 x g4) ... Schnittpunkt eine Gerade 3 mit einer Geraden 4



Qu+
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis in Kreisberührung
Die Aufgabe ist sehr präzis formuliert, weshalb man ihr auch eine ungenannte Information entnehmen kann, die aus dem Kontext folgt, nämlich, dass die Streckengleichheit immer gelten soll, solange die ausdrücklich definierten Bedingungen vorliegen. Deshalb habe ich mir erlaubt, die Konstellation zu vereinfachen, indem der Punkt D zugleich Mittelpunkt der Strecke AB ist.
Der Radius des Halbkreises sei , der Radius des kleinen Kreises .

1)


2)


3)


4)



Der Beweis mag nun für einen Spezialfall erbracht sein, aber
- der Spezialfall erfüllt alle Vorgaben des Aufgabenstellers,
- der Aufgabensteller selbst behauptet die Allgemeingültigkeit der Behauptung bei Erfüllung seiner Vorgaben,
- der Aufgabensteller hat keine weiteren Einschränkungen angegeben,
weshalb es mir insbesondere freisteht, den Punkt auf frei zu wählen und die Abbildung A551232 nur als beispielhafte Illustration zu betrachten.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos


Benütze die Tatsache, dass der Berührungspunkt der beiden Kreise auf der Verbindungslinie der beiden Kreismittelpunkte liegt.
Berechne den Radius x des kleinen berührenden Kreises (quadr. Gleichung!), damit berechne dann AE.


mY+




aufgelöst nach x > 0 ergibt



und damit


es gibt ja auch den Kathetensatz Augenzwinkern

(und damit einen ( fast reinen) geometrischen Beweis)
quadrierer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos

Geometrie:
Ein Beweis - eventuell mittels der Skizzen von quadrierer - ist bislang noch offen.
Einfach würde er voraussichtlich nicht sein, derzeit fehlt mir die Zeit dazu.
mY+


Hier nun noch eine andere effiziente allgemeingültig Berechnungs- und Beweis-Version. Die zwei Bilder zeigen den Zusammenhang für zwei unterschiedliche Grössen der Strecke AC.
[attach]51385[/attach]
[attach]51386[/attach]
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis in Kreisberührung
Zur speziellen Lösung vom 28.05. wollte ich eigentlich die Verallgemeinerung mit einem noch nicht gebrachten Ansatz früher liefern, leider hat dies länger als erhofft gedauert, weshalb ich sie hiermit nachreiche.

Gegeben und im ergänzten Bild dargestellt:

Halbkreis mit Radius und Mittelpunkt .
Auf dem Kreis liegen die Punkte und , wobei für gilt


Länge der Strecke der ist

Einbeschriebene Kreise mit Mittelpunkt und Radius , womit diese die Gerade in und die x-Achse in berühren.

Gesucht:

Voraussetzung:

Die berühren zusätzlich den Halbkreis .
Dann muß die Verbindungsstrecke von mit diesem Berührpunkt den Punkt enthalten.
D. h. der Vektorzug
muß sowohl die Kreisgleichung

als auch die Kreisgleichung

erfüllen.

Rechenweg:



Dies in Kreisgleichung eingesetzt liefert schnell .

In die Kreisgleichung eingesetzt hat man mehr Schreibarbeit, man landet dann bei
,
was nach Quadrieren und Ausmultiplizieren das zu zeigende Ergebnis

liefert.
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