Taylorreihenentwicklung von Integralausdruck

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Skeletor24 Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorreihenentwicklung von Integralausdruck
Hallo zusammen,

ich möchte folgende Funktion als Taylorreihe entwickeln aber komme da nicht weiter:


Weiß da jemand vielleicht etwas zu?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Da musst du schon etwas genauer werden:

Ich nehme an, du willst zunächst den Integranden in eine Taylorreihe entwickeln, aber um welchen Entwicklungspunkt ? Etwa ? Oder doch einen in der Mitte des Integrationsintervalls, also ? Oder was sonst? verwirrt
Skeletor24 Auf diesen Beitrag antworten »

Also das Integral ist Teil einer Gleichung. Die restliche Gleichung ist recht simpel. Aber der Integralausdruck nicht. Um nun die gesamte Gleichung zu berechnen, wollte ich den Integralausdruck als Taylorreihe um den Punkt x = 0 entwickeln. Aber habe da keine Idee, wie ich das machen kann.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Warum rechnest du nicht das Integral explizit aus? Das ist doch hier möglich, warum dann Taylorentwicklung?
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorreihenentwicklung von Integralausdruck
Zunächst sollte das Integral ausgerechnet werden. Dazu kann man mit dem Bronstein arbeiten, Maple oder Mathematika beutzen oder mit substituieren. Dann würde ich die Taylorentwicklung machen.

im übrigen ist

Skeletor24 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Auswertung des Integrals habe ich soweit auch hinbekommen. Aber dazu jetzt eine Taylorreihe zu machen bekomme ich nicht hin.

Die Taylorreihenentwicklung möchte ich deswegen machen, da aufgrund der Koeffizienten a, b, c der Wurzelausdruck negativ wird und damit die Lösung komplex. Mit der Taylorreihe kann ich doch die komplexe Lösung umgehen und erhalte eine reele Lösung. Oder etwa nicht?

Hier mal als Beispiel die Koeffizienten:
a = -0,184
b = 0,00349
c = 1,7549
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Skeletor24
Hier mal als Beispiel die Koeffizienten:
a = -0,184
b = 0,00349
c = 1,7549

Damit ist es nicht arctan, sondern eher artanh (bzw. alternativ zweimal Logarithmus)

Nochmal die Frage: Warum willst du wegen einer Gleichungslösung den Term taylorentwickeln?

Nenne doch bitte mal die gesamte Gleichung.
Skeletor24 Auf diesen Beitrag antworten »

Die ganze Gleichung lautet:


Wobei C, q, E und alpha kostante Werte sind.

Daher hatte ich mir wegen der komplexen Integrallösung gedacht, dass eine Taylorreihe einfacher ist. Oder geht es auch anders?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist keine Gleichung, sondern nur ein Term. unglücklich
Skeletor24 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt. Aber das ist es auch schon. W=... und dann der Term.
Bleibt halt immer noch das Problem, dass das Integral bei den genannten Koeffizienten eine komplexe Lösung liefert. Aber ich brauche eine reele Lösung. Deswegen die Idee mit der Taylorreihe.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Stammfunktion für den vorgelegten Fall ist beschaffbar mittels Umfuchteln von arctan(ix) zu einem Term mit artanh. Da bekommt man dann



Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Bzw.

Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Die mit arctan benutzen falls es keine Singularitäten gibt. Andernfalls sind die letzten beiden zwischen den Singularitäten gültig und



außerhalb.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@Skeletor24

Nach dem Threadstart oben mit Taylorentwicklung sowie dann dieser gewundenen Erklärung

Zitat:
Original von Skeletor24
Also das Integral ist Teil einer Gleichung. Die restliche Gleichung ist recht simpel. Aber der Integralausdruck nicht. Um nun die gesamte Gleichung zu berechnen, wollte ich den Integralausdruck als Taylorreihe um den Punkt x = 0 entwickeln.

mit einer "Gleichung" soll man also darauf kommen, dass du lediglich das Integral mit noch irgend einem irrelevanten Faktor davor berechnen willst??? Finger1


Herrje, drück dich das nächste mal doch mal ein bisschen klarer aus! Ich hatte angenommen, es geht um irgendeine Gleichung



mit irgendeiner Funktion , und diese GLEICHUNG wäre nach aufzulösen o.ä. Das Integral hatte ich dabei als prinzipiell schon erledigten Nebenkriegsschauplatz aufgefasst...
Skeletor24 Auf diesen Beitrag antworten »

@Finn_ bei den genannten Koeffizienten (a = -0,184, b = 0,00349, c = 1,7549) funktioniert deine Umformung gut. Wenn ich jedoch andere Koeffizienten nehme, weil sich die Funktion geändert hat, passt die Umformung nicht mehr. Als Beispiel die Koeffizienten:
a = -0,0389
b = -0,1275
c = 2,1331
Auswertung des Integrals von 0 bis 2 liefert 0,5137
nach der Umformung folgt für x = 2 der Wert 0,8858
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Da musst du dich irgendwo verrechnet haben, bei beidem kommt 0.5138 bei raus.
Die Eingabe ist:
f(x),F'(x); f(x):=0.5/(a*x^2+b*x+c); F(x):=-A/2*ln((1+A*(2a*x+b))/(1-A*(2a*x+b))); A:=1/sqrt(b^2-4a*c); a:=-0.0389; b:=-0.1275; c:=2.1331; calc("int(0,2,f), F(2)-F(0)")
Skeletor24 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, mein Fehler. Hatte vergessen die Untergrenze abzuziehen. Hups. Jetzt funktioniert alles!

Wie kamst du auf die Umformung von arctan zu artanh und dann zum ln?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst von artanh zu ln:

Definitionsgemäß gilt (Copy & Paste von Wikipedia)


Substituiere nun , das bringt

Nun einfach nach artanh(x) umstellen, Hauptnenner bilden.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, man kann die Formel mit artanh vereinfachen zu



die ist dann wie die Formel mit ln aber nur zwischen den Singularitäten gültig. Außerhalb gilt

Skeletor24 Auf diesen Beitrag antworten »

Super. Danke für die Erklärungen! Freude
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Die Bronstein-Formelsammlung liefert:
[attach]51370[/attach]
Je nachdem ob nun kleiner oder größer als null ist, sind hier unterschiedliche Formeln zu verwenden. Außerdem unterscheidet sich das Integral des Fragestellers um den Faktor 2 vom Bronsteinintegral.
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