Vergleich von durchschnittlicher Änderungsrate und arithmetischem Mittel

23.05.2020, 15:33	lionsbook7.5	Auf diesen Beitrag antworten »
Vergleich von durchschnittlicher Änderungsrate und arithmetischem Mittel Meine Frage: Hallo, ich habe hier bei einer Aufgabe einen Haufen von Messdaten mit Höhen zu verschiedenen Zeitpunkten. Jetzt soll ich begründen, weshalb die Durchschnittsgeschwindigkeit über den gesamten Zeitraum nicht dem arithmetischen Mittel der Durchschnittsgeschwindigkeiten von kürzeren Zeitabschnitten entspricht. Meine Ideen: Also wenn man es nachrechnet, kommt da nicht dasselbe raus, so weit bin ich schon, nur die Begründung finde ich schwierig. Vermutlich hat es etwas damit zu tun, dass die Sekantensteigung sich der momentanen Änderung immer weiter annähert, je näher die beiden Punkte beieinander sind?
23.05.2020, 16:16	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vergleich von durchschnittlicher Änderungsrate und arithmetischem Mittel Meßdaten werden sinnvollerweise im Zusammenhang mit Formeln ausgewertet. Mit Matlab geht so etwas schnell und einfach. Jetzt müßtest Du nur noch Formeln und Meßwerte liefern, sonst kann Dir niemand helfen.
23.05.2020, 19:27	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vergleich von durchschnittlicher Änderungsrate und arithmetischem Mittel lionsbook7.5: Ich hoffe, ich kann Dir doch helfen. So wie Du die Frage formuliert hast, bleibt offen bzw. ist gar zu vermuten, dass die kürzeren Zeitabschnitte, denen Du einzelne Mittelwerte entnommen hast, beliebig und nicht gleich lang waren. Soll insbesondere heißen, dass Deine Zeitabschnitte bei Unterteilung des gesamten Zeitraums $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Teilabschnitte nicht alle die Länge $\begin{eqnarray} T/n \end{eqnarray}$ hatten. Liege ich da richtig? Eine rechnerische Betrachtung behalte ich mir noch für später vor.
23.05.2020, 19:49	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist auch nicht offensichtlich. Nimm einfach ein einfaches Beispiel. 3 Wegpunkte $\begin{eqnarray} y_0,y_1,y_2 \end{eqnarray}$ zu den Zeiten $\begin{eqnarray} x_0, x_1,x_2 \end{eqnarray}$ und die mit gleichen Abständen als $\begin{eqnarray} x_2-x_1 = x_1-x_0=\Delta x \end{eqnarray}$ Die Gesamtsteigung ist $\begin{eqnarray} \overline v=\frac{y_2-y_0}{2 \Delta x} \end{eqnarray}$ erste Steigung ist $\begin{eqnarray} \overline v_1=\frac {y_1-y_0}{\Delta x} \end{eqnarray}$ , die zweite ist $\begin{eqnarray} \overline v_2=\frac {y_2-y_1}{\Delta x} \end{eqnarray}$ das arithmetische Mittel davon ist $\begin{eqnarray} \tilde v= \frac {\overline v_1+\overline v_2}{2} \end{eqnarray}$ Kannst du was ablesen z.B. bei $\begin{eqnarray} (0,0), (3,3),(6,4) \end{eqnarray}$ für 3 Wertepaare $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ gilt hier $\begin{eqnarray} \overline v =\tilde v \end{eqnarray}$ ? Bem: das ist eine Antwort nach Ulrich Ruhnau und stellt keine unerwünschte Einmischung in einen laufenden Thread dar.
24.05.2020, 08:11	lionsbook7.5	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für eure Antworten. klauss: Ja, du hast recht. Es geht um die Geschwindigkeit eines startenden Space-Shuttles der NASA, dessen Höhe zu verschiedenen Zeitpunkten gemessen wurde. Ich habe die Punkte $\begin{eqnarray} \left(0I0\right) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \left(5I92,5\right) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \left(10I370\right) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \left(20I1480\right) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \left(40I5920\right) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \left(60I13320\right) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \left(120I53.280\right) \end{eqnarray}$ . Dopap: Nein, da kommt bei meinen Berechnungen nicht dasselbe raus. Das hatte ich vorher tatsächlich schon kapiert. Also reicht es schon als Begründung, wenn ich zeige, dass dem arithmetischen Mittel und der Gesamtsteigung unterschiedliche Formeln zugrunde liegen?
24.05.2020, 16:36	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vergleich von durchschnittlicher Änderungsrate und arithmetischem Mittel Meine Frage beruhte ursprünglich darauf, dass ich mir ein Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm gemalt und mit Integralen gerechnet hatte. Das wäre hier aber sicher überfrachtend gewesen. Außerdem liegen bei Dir ja Weg-Zeit-Rohdaten vor. Um den Ansatz beibehalten zu können, stelle ich ihn daher etwas um: Ein Körper legt in der Gesamtzeit $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ einen Weg von $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ zurück. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist $\begin{eqnarray} \overline{v}=\frac{s}{T} \end{eqnarray}$ Nun teile ich die Gesamtzeit auf in 2 Teilabschnitte $\begin{eqnarray} t_{1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t_{2} \end{eqnarray}$ , in denen die Teilstrecken $\begin{eqnarray} s_{1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} s_{2} \end{eqnarray}$ zurückgelegt werden. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist $\begin{eqnarray} \overline{v}=\frac{s_{1}+s_{2}}{t_{1}+t_{2}} \end{eqnarray}$ Die beiden Teil-Zeitabschnitte lassen sich als Bruchteile der Gesamtzeit $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ schreiben: $\begin{eqnarray} t_{1}=kT,t_{2}=(1-k)T \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 0<k<1 \end{eqnarray}$ . Die Durchschnittsgeschwindigkeiten auf den beiden Teil-Zeitabschnitten sind $\begin{eqnarray} \overline{v_{1}}=\frac{s_{1}}{t_{1}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \overline{v_{2}}=\frac{s_{2}}{t_{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow s_{1}=\overline{v_{1}}\cdot t_{1} ; s_{2}=\overline{v_{2}}\cdot t_{2} \end{eqnarray}$ Oben eingesetzt: $\begin{eqnarray} \overline{v}=\frac{\overline{v_{1}}\cdot t_{1}+\overline{v_{2}}\cdot t_{2}}{t_{1}+t_{2}}= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{\overline{v_{1}}\cdot kT+\overline{v_{2}}\cdot (1-k)T}{T}= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\overline{v_{1}}\cdot k+\overline{v_{2}}\cdot (1-k) \end{eqnarray}$ Die Durchschnittsgeschwindigkeiten der Teil-Zeitabschnitte werden also gewichtet mit dem Anteil der Teil-Zeitabschnitte an der Gesamtzeit. Heißt: Die Gesamt-Durchschnittsgeschwindigkeit ist nur dann gleich dem arithmetischen Mittel der Durchschnittsgeschwindigkeiten der 2 Teil-Zeitabschnitte, wenn die beiden Teil-Zeitabschnitte jeweils $\begin{eqnarray} T/2 \end{eqnarray}$ sind. Überlege Dir ggf. die Verallgemeinerung auf $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Teil-Zeitabschnitte selbst.
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24.05.2020, 19:37	lionsbook7	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen, vielen Dank!

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