Für welche Werte ist Term Quadratzahl

23.05.2020, 21:13	Bobby Fischer	Auf diesen Beitrag antworten »
Für welche Werte ist Term Quadratzahl Meine Frage: Für welche natürlichen Zahlen k ist der Ausdruck $\begin{eqnarray} k^{3}-5k^{2}+9k-6 \end{eqnarray}$ eine Quadratzahl? Meine Ideen: Keine Idee
24.05.2020, 01:43	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Für welche Werte ist Term Quadratzahl Ob das exakt berechenbar ist, wage ich - in der Schulmathematik (!) - zu bezweifeln. Mit Hilfe einer Tabellenkalkulation kommt man (für natürliche k ab der einzigen Nullstelle k = 2) erstmals auf EDIT: Die Kalkulation hat mir einen Streich gespielt, die Lösung war falsch mY+
24.05.2020, 01:48	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die zu lösende Diophantische Gleichung $\begin{eqnarray} n^2 = k^3-5k^2+9k-6=(k-2)(k^2-3k+3) \end{eqnarray}$ geht durch Substitution $\begin{eqnarray} k=m+2 \end{eqnarray}$ in die Form $\begin{eqnarray} n^2 = m(m^2+m+1) \end{eqnarray}$ über. Aus $\begin{eqnarray} m^2+m+1>0 \end{eqnarray}$ folgt somit $\begin{eqnarray} m\geq 0 \end{eqnarray}$ , und der Teilerfremdheit von $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} m^2+m+1 \end{eqnarray}$ wegen müssen beide Faktoren $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} m^2+m+1 \end{eqnarray}$ dann Quadrate ganzer Zahlen sein. Wegen $\begin{eqnarray} m^2 < m^2+m+1 < (m+1)^2 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} m\geq 1 \end{eqnarray}$ kann das allenfalls noch für $\begin{eqnarray} m=0 \end{eqnarray}$ der Fall sein, mit dann offensichtlich $\begin{eqnarray} n=0 \end{eqnarray}$ . Die einzige Lösung ist somit $\begin{eqnarray} k=2 \end{eqnarray}$ .

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