Abschätzung für stetige Bilinearform

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23.05.2020, 21:26	nerdno1	Auf diesen Beitrag antworten »
Abschätzung für stetige Bilinearform Meine Frage: Hallo, ich sitze bei der Aufgabe und will die Voraussetzungen für Lax-Milgram zeigen. Um zu zeigen, dass B(u,v), was ja in dieser Aufgabe die rechte Seite der Gleichung ist, eine stetige Bilinearform ist, habe ich die Linearität bereits bewiesen. Jetzt fehlt noch die Abschätzung nach oben. Ich wusste nicht, wie ich das ganze nach oben abschätzen kann, sodass ich ein konkretes C aus lR+, sd. \|B(u,v)\| <= C llull * llvll für alle u,v aus H Meine Ideen: Habe es mit der Abschätzung Betrag ins Integral ziehen versucht, erfolglos.
24.05.2020, 09:20	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschätzung für stetige Bilinearform Man kann mit Cauchy-Schwarz/Hölder-Ungleichung die Integrale auf der linken Seite geeignet abschätzen. Das Integral $\begin{eqnarray} \int_{B_1} \|y\|^{-m} dy \end{eqnarray}$ existiert genau dann wenn $\begin{eqnarray} m < n \end{eqnarray}$ ist. Man kann man dem Transformationssatz sogar ausrechnen welchen konkreten Wert es besitzt.
24.05.2020, 10:43	nerdno1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschätzung für stetige Bilinearform Der Betrag in der Schwarzen Ungleichung ist ja eigentlich für das Produkt gegeben, aber wir haben ja hier den Betrag nur um x und nicht um u(x) bzw. v(x), oder habe ich das falsch verstanden? $\begin{eqnarray} \left(\int_{B1(0)} \! \|x\|^{-^{\frac{2n-1}{4} } } u(x) \, dx \right) \left(\int_{B1(0)} \! \|x\|^{-^{\frac{2n-1}{4} } } v(x) \, dx \right) +2\int_{B1(0)} \! u(x)v(x) \, dx \leq \left(\int_{B1(0)} \! \|x\|^{-^{\frac{2n-1}{4} } } \, dx \right)\left(\int_{B1(0)} \! \|u(x)\|^{-^{\frac{2n-1}{4} } } \, dx \right)^{-^{\frac{2n-1}{4} } } \left(\int_{B1(0)} \! \|x\|^{-^{\frac{2n-1}{4} } } \, dx \right)\left(\int_{B1(0)} \! \|v(x)\|^{-^{\frac{2n-1}{4} } } \, dx \right)^{-^{\frac{2n-1}{4} } } +2\int_{B1(0)} \! u(x)v(x) \, dx \end{eqnarray}$
24.05.2020, 11:05	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast $\begin{eqnarray} \left \| \int_{B_1(0)} \|x\|^{-\frac { 2n-1}4} u(x) dx \right\| \leq \int_{B_1(0)} \|x\|^{-\frac { 2n-1}4} \left \| u(x) \right\|dx \end{eqnarray}$ . Und darauf kannst du Hölder anwenden. Ich weiß nicht woher du die Exponenten bekommst.
24.05.2020, 12:15	nerdno1	Auf diesen Beitrag antworten »
Da habe ich wohl was missverstanden mit den Exponenten. Insgesamt hätte ich dann doch die Abschätzung: l ...linke Seite der obigen Gleichung... l $\begin{eqnarray} \leq \left(\int_{B1(0)} \! \| x \|^{-\frac{2n-1}{4} } \| u(x) \| \, dx \right) \left(\int_{B1(0)} \! \| x \|^{-\frac{2n-1}{4} } \| v(x) \| \, dx \right)+2\int_{B1(0)} \! u(x)v(x) \, dx \end{eqnarray}$ wie kann ich weiter abschätzen, damit ich erhalte: ... $\begin{eqnarray} \leq C \|\|u\|\| \|\|v\|\| \end{eqnarray}$ ? Ist hier im reellen die Norm $\begin{eqnarray} \|\|u\|\|=\left( \int \! u(x)^{2} \, dx \right)^{1/2} \end{eqnarray}$ gemeint?
24.05.2020, 14:20	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht ganz, es muss $\begin{eqnarray} 2 \int_{B_1(0)} \|u(x) v(x)\| dx \end{eqnarray}$ heissen. Du solltest auch das noch oben abschätzen. Und ja, die Norm ist hier die $\begin{eqnarray} L^2 \end{eqnarray}$ Norm. Die Hölder-Ungleichung sagt hier doch sofort $\begin{eqnarray} \int_{B_1(0)} \|u(x) v(x)\| dx\leq \\| u\\| \\|v\\| \end{eqnarray}$ . Bei dem anderen Integral setze $\begin{eqnarray} g(x) = \|x\|^{-\frac{ 2n-1} 4} \end{eqnarray}$ und dann kannst du abschätzen $\begin{eqnarray} \int_{B_1(0)} \|x\|^{-\frac { 2n-1}4} \left \| u(x) \right\|dx \leq \\| g\\| \\|u\\| \end{eqnarray}$ . Du kannst jetzt $\begin{eqnarray} \\|g\\| \end{eqnarray}$ explizit ausrechnen, um deine Konstante zu bekommen. Bzw. hast du bereits vermutlich in der Vorlesung gezeigt, dass $\begin{eqnarray} \\| g\\| < \infty \end{eqnarray}$ ist.
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24.05.2020, 16:29	nerdno1	Auf diesen Beitrag antworten »
okay. Ich habe dann also insgesamt: ....<= llgll * llull * llgll * llvll + 2* llull * llvll = (llgll^2+2) * llull * llvll wenn ich jetzt llgll^2 berechne, also das Integral über B1(0), dann erhalte ich hier: llgll^2 = 2/(3-2n) (1 ist ja die obere Integralgrenze, da wir über B1(0) integrieren) also wäre mein C:= 2/(3-2n)+2, was für n aus lR+ gegen 2 konvergiert
24.05.2020, 16:39	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Integral habe ich nicht ausgerechnet. Aber für $\begin{eqnarray} n \geq 2 \end{eqnarray}$ behauptest du die Norm wäre negativ. Das kann nicht stimmen. Vom Prinzip stimmt es aber. Weiterhin ist $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ eine feste Zahl. Du kannst $\begin{eqnarray} n \to\infty \end{eqnarray}$ anschauen, aber ich sehe hier keinen Mehrwert.
24.05.2020, 17:04	nerdno1	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, werde dann nochmal rechnen. Vielen Dank für deine Hilfe.

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