Beh.: ||a x b|| = ||a|| ||b|| sin(phi) ? |
24.05.2020, 14:47 | dsyleixa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Beh.: ||a x b|| = ||a|| ||b|| sin(phi) ? ich verstehe nicht die Beweisführung: a,b aus R³ \0, 0<=phi<=pi x: Kreuzprodukt Beh.: ||a x b|| = ||a|| • ||b|| • sin(phi) Bew.: <a x b,a x b> = (...ausrechnen komponentenweise...) ... = <a,a><b,b> -<a,b>² = ||a||² • ||b||² • ( 1- <a,b>² / (||a||² • ||b||²) ) = ||a||² • ||b||² • ( 1- (cos(phi)²) ) Zitat: "woraus die Behauptung folgt und somit sin(phi) = SQRT(1 - cos(phi)² ) " Meine Fragen: wieso fängt der Autor an, mit dem Skalarprodukt zu rechnen? Es geht doch ums Kreuzprodukt! Wieso folgt aus dem letzten Term die Behauptung und insb.: wieso folgt daraus sin(phi) = SQRT(1 - cos(phi)² ) ? (sin² + cos² =1, aber das gilt nach Pythagoras, wieso "folgt" es also aus dem letztem Term?) |
||||||
24.05.2020, 16:49 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beh.: ||a x b|| = ||a|| ||b|| sin(phi) ?
Er möchte berechnen und er fängt dazu mit an. Nun ist
Wahrscheinlich wollte er sagen, wegen folgt daraus die Behauptung. |
||||||
24.05.2020, 18:12 | dsyleixa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok, danke, das mit dem Quadrat leuchtet mir ein ||a x b|| ² = <a x b,a x b> Dann muss man am Schluss auf beiden Seiten die Wurzel ziehen und ist (bis auf das Vorzeichen) im Prinzip fertig. Zuvor wurde allerdings nur der Cosinus definiert über cos(phi) = <a,b> / ( ||a|| • ||b|| ) - der Sinus hingegen wurde nicht explizit definiert. Aber ist es denn dann erlaubt, beim Rechnen im Vektorraum R³ (+,-,<.,.>,R) die Formel sin(phi) = SQRT( 1 - cos(phi)² ) einfach aus der Euklidischen Geometrie für diesen Vektorraum R³ mit Skalarprodukt zu übernehmen? Oder hat er (mit welchem Recht ?) dann doch die Aussage "und somit sin(phi) = SQRT(1 - cos(phi)² ) " irgendwie "folgern" können? |
||||||
24.05.2020, 18:21 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ohne eine Definition des Sinus kann man keine Beziehung zum Kosinus herleiten. |
||||||
24.05.2020, 18:50 | dsyleixa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wie würde man denn analog zur Cosinusdefinition den Sinus im R³ (Vektorraum, Hilbertraum) definieren (wenn nicht über die obige Wurzelfunktion), und müsste man dann nicht auch diese Analogie von sin, cos zur Euklidischen Geometrie (also quasi eine Isomorphie der Funktionsnamen) zeigen? (bin mir jetzt nicht sicher, ob die Frage korrekt formuliert ist, ich hoffe man versteht was ich meine) |
||||||
24.05.2020, 19:18 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Meine Vermutung ist, dass über das Skalarprodukt nicht der Kosinus als Funktion definiert wurde, sondern der Winkel zwischen 2 Vektoren, wobei die Kosinusfunktion als bekannt vorausgesetzt wurde. Dementsprechend wäre auch die Sinusfunktion und der trigonometrische Pythagoras bekannt. |
||||||
Anzeige | ||||||
|
||||||
24.05.2020, 19:32 | dsyleixa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
stimmt, da hast du recht, es wurde der Winkel über den Cosinus definiert. Sieht aber doch etwas seltsam aus, wenn man schreibt, der Winkel phi zwischen den Vektoren a,b ist definiert durch cos(phi) = <a,b> / ( ||a|| ||b|| ) denn hier wird ja der Cosinus von phi definiert und nicht der Winkel. Der Winkel selber würde IMO definiert werden durch phi = arccos ( <a,b> / ( ||a|| ||b|| ) ) |
||||||
24.05.2020, 19:47 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn man kleinlich ist, hast du Recht. Wenn aber der Kosinus als Funktion als bekannt angenommen wird, so ist auch dessen Umkehrfunktion bekannt und man überlässt es dem Leser, die Umformung in vorzunehmen. |
||||||
24.05.2020, 19:58 | dsyleixa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
naja, kleinlich wollte gerade ich nicht erscheinen, ich sehe es eher als eine Frage der Logik als der Kleinlichkeit |
||||||
24.05.2020, 20:03 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann streich kleinlich. Ich wollte dir damit keinen Vorwurf machen. Ich wollte nur darauf hinweisen, dass es in Lehrbüchern durchaus üblich ist, die Umformung zu dem Leser zu überlassen. |
||||||
24.05.2020, 20:14 | dsyleixa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
neenee, ich habe das nicht als Vorwurf verstanden, mir war nur die Denkweise etwas fremd, und ich lese leider sehr oft Sätze wie "der Beweis ist trivial" oder "den Beweis überlasse ich dem Leser" . Andererseits, wenn ich eine Größe durch eine Definition beschreiben will, dann beschreibe ich normalerweise direkt die Größe und nicht eine Funktion, die auf die Größe angewendet wird... Aber das ist sicher ein Streit um des Kaisers Bart. Immerhin, jetzt habe ich den Beweis rundum verstanden (denke ich), vielen Dank! |
|