Beh.: ||a x b|| = ||a|| ||b|| sin(phi) ?

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dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »
Beh.: ||a x b|| = ||a|| ||b|| sin(phi) ?
hallo,
ich verstehe nicht die Beweisführung:
a,b aus R³ \0,
0<=phi<=pi
x: Kreuzprodukt

Beh.: ||a x b|| = ||a|| • ||b|| • sin(phi)

Bew.:
<a x b,a x b> = (...ausrechnen komponentenweise...)
...
= <a,a><b,b> -<a,b>²
= ||a||² • ||b||² • ( 1- <a,b>² / (||a||² • ||b||²) )
= ||a||² • ||b||² • ( 1- (cos(phi)²) )
Zitat:
"woraus die Behauptung folgt und somit sin(phi) = SQRT(1 - cos(phi)² ) "

Meine Fragen:
wieso fängt der Autor an, mit dem Skalarprodukt zu rechnen? Es geht doch ums Kreuzprodukt!
Wieso folgt aus dem letzten Term die Behauptung
und insb.:
wieso folgt daraus sin(phi) = SQRT(1 - cos(phi)² ) ?
(sin² + cos² =1, aber das gilt nach Pythagoras, wieso "folgt" es also aus dem letztem Term?)
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beh.: ||a x b|| = ||a|| ||b|| sin(phi) ?
Zitat:
Original von dsyleixa
wieso fängt der Autor an, mit dem Skalarprodukt zu rechnen? Es geht doch ums Kreuzprodukt!

Er möchte berechnen und er fängt dazu mit an. Nun ist



Zitat:
wieso folgt daraus sin(phi) = SQRT(1 - cos(phi)² ) ?

Wahrscheinlich wollte er sagen, wegen folgt daraus die Behauptung.
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

ok, danke,
das mit dem Quadrat leuchtet mir ein
||a x b|| ² = <a x b,a x b>
Dann muss man am Schluss auf beiden Seiten die Wurzel ziehen und ist (bis auf das Vorzeichen) im Prinzip fertig.

Zuvor wurde allerdings nur der Cosinus definiert über
cos(phi) = <a,b> / ( ||a|| • ||b|| )
- der Sinus hingegen wurde nicht explizit definiert.

Aber ist es denn dann erlaubt, beim Rechnen im Vektorraum R³ (+,-,<.,.>,R) die Formel
sin(phi) = SQRT( 1 - cos(phi)² )
einfach aus der Euklidischen Geometrie für diesen Vektorraum R³ mit Skalarprodukt zu übernehmen?
Oder hat er (mit welchem Recht ?) dann doch die Aussage
"und somit sin(phi) = SQRT(1 - cos(phi)² ) "
irgendwie "folgern" können?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dsyleixa
- der Sinus hingegen wurde nicht explizit definiert.

Ohne eine Definition des Sinus kann man keine Beziehung zum Kosinus herleiten.
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

wie würde man denn analog zur Cosinusdefinition den Sinus im R³ (Vektorraum, Hilbertraum) definieren (wenn nicht über die obige Wurzelfunktion),
und müsste man dann nicht auch diese Analogie von sin, cos zur Euklidischen Geometrie (also quasi eine Isomorphie der Funktionsnamen) zeigen?
(bin mir jetzt nicht sicher, ob die Frage korrekt formuliert ist, ich hoffe man versteht was ich meine)
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Vermutung ist, dass über das Skalarprodukt nicht der Kosinus als Funktion definiert wurde, sondern der Winkel zwischen 2 Vektoren, wobei die Kosinusfunktion als bekannt vorausgesetzt wurde. Dementsprechend wäre auch die Sinusfunktion und der trigonometrische Pythagoras bekannt.
 
 
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt, da hast du recht, es wurde der Winkel über den Cosinus definiert.
Sieht aber doch etwas seltsam aus, wenn man schreibt,
der Winkel phi zwischen den Vektoren a,b ist definiert durch
cos(phi) = <a,b> / ( ||a|| ||b|| )

denn hier wird ja der Cosinus von phi definiert und nicht der Winkel.
Der Winkel selber würde IMO definiert werden durch
phi = arccos ( <a,b> / ( ||a|| ||b|| ) )
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man kleinlich ist, hast du Recht. Wenn aber der Kosinus als Funktion als bekannt angenommen wird, so ist auch dessen Umkehrfunktion bekannt und man überlässt es dem Leser, die Umformung in vorzunehmen.
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

naja, kleinlich wollte gerade ich nicht erscheinen, ich sehe es eher als eine Frage der Logik als der Kleinlichkeit Augenzwinkern
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Dann streich kleinlich. Ich wollte dir damit keinen Vorwurf machen. Ich wollte nur darauf hinweisen, dass es in Lehrbüchern durchaus üblich ist, die Umformung zu dem Leser zu überlassen.
dsyleixa Auf diesen Beitrag antworten »

neenee, ich habe das nicht als Vorwurf verstanden, mir war nur die Denkweise etwas fremd, und ich lese leider sehr oft Sätze wie "der Beweis ist trivial" oder "den Beweis überlasse ich dem Leser" .
Andererseits, wenn ich eine Größe durch eine Definition beschreiben will, dann beschreibe ich normalerweise direkt die Größe und nicht eine Funktion, die auf die Größe angewendet wird...

Aber das ist sicher ein Streit um des Kaisers Bart.

Immerhin, jetzt habe ich den Beweis rundum verstanden (denke ich), vielen Dank!
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