Rekursive Folge, Konvergenz und Grenzwert |
24.05.2020, 23:43 | Brosis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Rekursive Folge, Konvergenz und Grenzwert Zeigen Sie, dass die durch a1=1/4, a_n^2+1/4 definierte Folge konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert. Dann habe ich jeweils nachgerechnet ob das stimmt a_1= 1/4 a_2= (1/4)^2+1/4= 5/16 a_3= (a^2)+1/4=89/256 a_4=(a_3)^2+1/4=0,37 Die Folge konvergiert gegen 0.5 f(x)<1/2 Für die monotonie a_(n+1)-a_n >= 0 oder a_(n+1)/a_n <= 1. a_(n+1)-a_n >= 0 -> 5/16-1/4=1/16>0 Ist monoton steigend Bin ich richtig vorgegangen? und wie lassen sich nun die Grenzwerte berechnen? Vielen Dank schon im voraus für eure Antworten! |
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25.05.2020, 00:59 | schimmer | Auf diesen Beitrag antworten » |
Sich bestimmte Zusammenhänge an Beispielen klar zu machen bzw. zu veranschaulichen, ist eine gute Sache. Ein Beweis dafür, dass diese Zusammenhänge immer gültig sind, ist das aber gewiss nicht. Du musst deine Vermutungen allgemein für alle natürlichen Zahlen n nachweisen. 1. Vermutung: Die Folge ist monoton steigend Zu zeigen ist also für alle natürlichen Zahlen n Durch die rekursive Vorschrift hast du ja einen Term für gegeben. Eingesetzt wäre demnach also die Ungleichung zu zeigen. Das gelingt hier durch Subtraktion von und Nutzung der 2. binomischen Formel. 2. Vermutung: Die Folge ist nach oben durch 1/2 beschränkt Zu zeigen ist also für alle natürlichen Zahlen n, dass gilt. Das könnte man durch vollständige Induktion zeigen. Zusatzfrage: Gibt es auch eine passende, direkt ersichtliche untere Schranke ? Auf gehts, viel Erfolg. |
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25.05.2020, 07:18 | Ulrich Ruhnau | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich will mal probieren, ob ich eine vollständige Induktion zustande bringe: Es gelte für ein bestimmtes n: dann einmal die Gleichung quadrieren Es sieht so aus, als wenn die Vollständige Induktion gelungen ist. Das würde bedeuten, daß nach oben beschränkt ist. Aber selbst wenn es noch irgendwie gelingen würde nachzuweisen, daß monoton wächst, ist aus meiner Sicht noch nicht der Beweis erbracht, daß wirklich gegen konvergiert, d.h. könnte auch gegen etwas kleineres im Intervall konvergieren. |
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25.05.2020, 08:50 | Luftikus | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn die rekursive Folge gegen a konvergiert, dann gilt: |
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