Rekursive Folge, Konvergenz und Grenzwert

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Brosis Auf diesen Beitrag antworten »
Rekursive Folge, Konvergenz und Grenzwert
Liebes Mathe Board ich hoffe ihr könnt mir helfen. Ich habe folgende Aufgabe zu einer Folge bei der man prüfen ob Sie konvergent ist und den Grenzwert bestimmen.

Zeigen Sie, dass die durch a1=1/4, a_n^2+1/4 definierte Folge konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.


Dann habe ich jeweils nachgerechnet ob das stimmt

a_1= 1/4

a_2= (1/4)^2+1/4= 5/16

a_3= (a^2)+1/4=89/256

a_4=(a_3)^2+1/4=0,37

Die Folge konvergiert gegen 0.5
f(x)<1/2

Für die monotonie a_(n+1)-a_n >= 0 oder a_(n+1)/a_n <= 1.

a_(n+1)-a_n >= 0 -> 5/16-1/4=1/16>0

Ist monoton steigend
Bin ich richtig vorgegangen? und wie lassen sich nun die Grenzwerte berechnen?

Vielen Dank schon im voraus für eure Antworten!
schimmer Auf diesen Beitrag antworten »

Sich bestimmte Zusammenhänge an Beispielen klar zu machen bzw. zu veranschaulichen, ist eine gute Sache.
Ein Beweis dafür, dass diese Zusammenhänge immer gültig sind, ist das aber gewiss nicht.
Du musst deine Vermutungen allgemein für alle natürlichen Zahlen n nachweisen.

1. Vermutung: Die Folge ist monoton steigend

Zu zeigen ist also für alle natürlichen Zahlen n

Durch die rekursive Vorschrift hast du ja einen Term für gegeben.
Eingesetzt wäre demnach also die Ungleichung zu zeigen.
Das gelingt hier durch Subtraktion von und Nutzung der 2. binomischen Formel.

2. Vermutung: Die Folge ist nach oben durch 1/2 beschränkt

Zu zeigen ist also für alle natürlichen Zahlen n, dass gilt.

Das könnte man durch vollständige Induktion zeigen.

Zusatzfrage: Gibt es auch eine passende, direkt ersichtliche untere Schranke ?


Auf gehts, viel Erfolg. Freude
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Ich will mal probieren, ob ich eine vollständige Induktion zustande bringe:
Es gelte für ein bestimmtes n:

dann einmal die Gleichung quadrieren









Es sieht so aus, als wenn die Vollständige Induktion gelungen ist. Das würde bedeuten, daß nach oben beschränkt ist. Aber selbst wenn es noch irgendwie gelingen würde nachzuweisen, daß monoton wächst, ist aus meiner Sicht noch nicht der Beweis erbracht, daß wirklich gegen konvergiert, d.h. könnte auch gegen etwas kleineres im Intervall konvergieren.
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die rekursive Folge gegen a konvergiert, dann gilt:

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