3D-Momentengleichgewicht - Kreuzprodukt

25.05.2020, 10:12

Thomas_Mech

3D-Momentengleichgewicht - Kreuzprodukt

Hallo,

ich habe eine Aufgabe in der ich die vektorielle Gleichung im R^3, die ich nach F2 auflösen wollen würde.

F1 X R1 == F2 X R2

Geht das in der Form vektoriell irgendwie? Umstellen kann ich das Kreuzprodukt meine ich ja nicht.

Hintergrund (vermutlich nicht notwendig, nur falls es helfen sollte / von Interesse ist):
Ich versuche für eine Aufgabe aus der technischen Mechanik ein Momentengleichgewicht aufzustellen und damit bei in meinem Fall gegebenen Längen zu berechnen, wie groß m2 ein muss, damit Gleichgewicht herrscht.

In 2D / Ebene wäre das mithilfe des Momentengleichgewichts um das Lager möglich:
m1 * l1 == m2 *l2--> m2 = (m1*l1)/l2

In 3D ist das Moment mithilfe des Kreuzproduktes aus dem Kraftvektor und dem Vektor vom Drehpunkt zum Kraftangriffspunkt ermittelbar. Ich möchte nur ungern skalar rechnen, sondern vektoriell.

M_Lager_F1 = F1 X R1
Der Betrag von M_Lager ist der Betrag des Moments, die Richtung von M_Lager ist die Drehachse.

F2 müsste nun mit dem zugehörigen Hebelarm das gleiche Moment erzeugen

[attach]51363[/attach] (Quelle: algebra(dot)unterrichtsdienste(dot)de )

Bereits im Voraus vielen Dank für jegliche Hilfe!

Thomas

25.05.2020, 10:39

Ulrich Ruhnau

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RE: 3D-Momentengeichgewicht - Kreuzprodukt
Das gesamte Drehmoment ist gegeben durch $\begin{eqnarray*} \vec M=\sum\limits_i \vec r_i\times \vec F_i \end{eqnarray*}$

Wenn alles so ist, wie in der Zeichnung, dann verschwindet das gesamte Drehmoment und es gilt wegen $\begin{eqnarray*} \vec F=m\cdot \vec g \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} m_1\cdot l_1=m_2\cdot l_2 \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung ist leicht aufzulösen. Daher kein Problem!

25.05.2020, 11:22

Thomas_Mech

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RE: 3D-Momentengeichgewicht - Kreuzprodukt
Hallo,

vielen Dank für die schnelle Antwort. Gilt das auch im 3D in der vektoriellen Rechnung?

Mein Problem ist vollständig in 3D, die Skizze nur zur besseren Vorstellung. Als Beispiel könnte:
F1 = [ 0 0 23]
l1 = [ 2 5 9]
M1 = F1 X l1 = [ -115 46 0]

l2 = [ 0 0 34 ] (in meinem Fall ist l2 nur in Z-Richtung ausgedehnt)
F2 = [? ? 0] (daher wäre dann die Z-Komponente von F2 beliebig, in meinem Fall "0")

Wie würde ich F2 in dem Beispiel berechnen können oder wäre da auch das Teilen durch die "Länge" also den Betrag von l2 möglich?

Viele Grüße,

Thomas

25.05.2020, 11:57

Ulrich Ruhnau

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RE: 3D-Momentengeichgewicht - Kreuzprodukt

Zitat:

Original von Thomas_Mech
Wie würde ich F2 in dem Beispiel berechnen können oder wäre da auch das Teilen durch die "Länge" also den Betrag von l2 möglich?

Es gilt für das Kreuzprodukt

$\begin{eqnarray*} |\vec a\times\vec b|=|a|\cdot|b|\cdot \sin \varphi\quad \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ der Winkel zwischen $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ ist.

Das bedeutet, für $\begin{eqnarray*} \varphi=90° \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \sin \varphi=1 \end{eqnarray*}$ . D.h. mit gegebener Kraft wird ein optimales Drehmoment erzielt.

25.05.2020, 12:27

Luftikus

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Was spricht gegen Komponenten?

$\begin{eqnarray*} r_{1,y} \, F_{1,z} - r_{1,z} \, F_{1,y} = - r_{2,y} \, Z + r_{2,z} \, Y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r_{1,z} \, F_{1,x} - r_{1,x} \, F_{1,z} = - r_{2,z} \, X + r_{2,x} \, Z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r_{1,x} \, F_{1,y} - r_{1,y} \, F_{1,x} = - r_{2,x}\, Y + r_{2,y} \, X \end{eqnarray*}$

25.05.2020, 13:25

Huggy

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RE: 3D-Momentengeichgewicht - Kreuzprodukt
@Ulrich Ruhnau
Gratulation!
Es ist dir wieder mal gelungen, Antworten zu geben, die gar nicht auf die gestellte Frage eingehen.

Zitat:

Original von Thomas_Mech
ich habe eine Aufgabe in der ich die vektorielle Gleichung im R^3, die ich nach F2 auflösen wollen würde.

F1 X R1 == F2 X R2

Geht das in der Form vektoriell irgendwie? Umstellen kann ich das Kreuzprodukt meine ich ja nicht.

Da kann ich dir keine Hoffnung machen. Wenn man das, wie von Luftikus vorgeschlagen, als lineares Gleichungssystem betrachtet, so kann man das mit konkreten Werten natürlich versuchen zu lösen. Prinzipiell gibt es dabei 3 Möglichkeiten:

(1) Es gibt genau eine Lösung.
(2) Es gibt unendlich viele Lösungen.
(3) Es gibt keine Lösung.

(1) kann nicht eintreten, wie du selbst schon bemerkt hast. Eine Kraftkomponente von $\begin{eqnarray*} \vec F_2 \end{eqnarray*}$ in Richtung $\begin{eqnarray*} \vec r_2 \end{eqnarray*}$ hat das Moment Null und ist daher willkürlich. (3) kann allerdings eintreten. Dazu muss $\begin{eqnarray*} \vec r_2 \end{eqnarray*}$ nur parallel zur linken Seite sein. Es ist nicht zu sehen, wie diese unterschiedlichen Fälle durch allgemeine Vektoroperationen abgedeckt werden können.

25.05.2020, 17:42

Thomas_Mech

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RE: 3D-Momentengeichgewicht - Kreuzprodukt
Vielen Dank erstmal an Alle!

Jetzt erzeuge ich bestimmt Kopfschütteln mit meinem "heuristischen" Vorgehen, aber vielleicht lässt sich ja eine Erklärung finden die das ganze als Zufall oder auch als durch die Randbedingungen erklärbar herausstellt:

Ich habe zunächst mein Moment der Kraft F1 berechnet, ganz so wie es die Formelsammlungen sagen:

M_F1 = r1 X F1
mit: r1 = beliebiger Vektor im 3D vom Drehpunkt zum Kraftangriffspunkt, F1 Kraftvektor, in meinem Fall nur mit einer Z-Komponente, also [0 0 Fz]

Um dieses berechnete Moment abzustützen durch eine gesuchte Kraft F2 mit dem gegebenen Hebelarm r2 der nur Komponenten in Z hat also [ 0 0 r2z] weiß ich, dass diese Kraft senkrecht auf dem Hebelarm und der Drehachse des Moments stehen muss in meinem Fall

Daher habe ich das Kreuzprodukt aus M_F1 und r2 gebildet. Das Ergebnis entspricht meiner Vorgabe, lediglich das Ergebnis muss ich durch r2^2 teilen, da ich eigentlich durch den Hebelarm dividieren müsste, stattdessen im Kreuzprodukt aber damit Multipliziere. Die gesuchte Kraft F2 erhalte ich also mit der "Formel"

F2 = (M_F1 X r2) / |r2|^2

Tatsächlich scheint in meinen "Testrechnungen" gegen Lösungen mit komponentenweiser Rechnung zu stimmen. Das ist gut, weil es gut aussieht - aber brandgefährlich, weil ich nicht sicher bin, ob ich nur Glück habe in der Rechnung.

Kann mir jemand den ein oder anderen Fehler aufzeigen / Problem / Warnung / Hinweis?

Viele Grüße,

Thomas

26.05.2020, 09:35

Huggy

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RE: 3D-Momentengeichgewicht - Kreuzprodukt
Es sollte dich stutzig machen, dass deine Formel

$\begin{eqnarray*} \vec F_2=\frac {\vec M_1 \times \vec r_2}{|\vec r_2|^2} \end{eqnarray*}$

auch dann eine Lösung liefert, nämlich $\begin{eqnarray*} \vec F_2=(0,0,0) \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \vec r_2 \end{eqnarray*}$ parallel zu $\begin{eqnarray*} \vec M_1 \end{eqnarray*}$ ist, obwohl es dann gar keine Lösung gibt.

Ohne die technische Einkleidung geht es mathematsich darum, bei gegebenen Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ zu finden, die die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \vec a = \vec b \times \vec x \end{eqnarray*}$

erfüllen. Deine Formel dafür lautet:

$\begin{eqnarray*} \vec x=\frac {\vec a \times \vec b}{|\vec b|^2} \end{eqnarray*}$

Durch geeignete Wahl des Koordinatensystems und der Maßeinheiten lässt sich immer erreichen

$\begin{eqnarray*} \vec a= (0,0,1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec b=(1, 0, z) \end{eqnarray*}$

Dann ergibt deine Formel

$\begin{eqnarray*} \vec x = (0, \frac 1 {1+z^2}, 0) \end{eqnarray*}$

Die Kontrollrechnung ergibt damit

$\begin{eqnarray*} \vec b \times \vec x=(\frac {-z}{1+z^2},0,\frac 1 {1+z^2}) \neq \vec a \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis stimmt also nur für $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ .

26.05.2020, 10:31

Ulrich Ruhnau

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RE: 3D-Momentengeichgewicht - Kreuzprodukt

Zitat:

Original von Huggy
Es sollte dich stutzig machen, dass deine Formel

$\begin{eqnarray*} \vec F_2=\frac {\vec M_1 \times \vec r_2}{|\vec r_2|^2} \end{eqnarray*}$

auch dann eine Lösung liefert, nämlich $\begin{eqnarray*} \vec F_2=(0,0,0) \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \vec r_2 \end{eqnarray*}$ parallel zu $\begin{eqnarray*} \vec M_1 \end{eqnarray*}$ ist, obwohl es dann gar keine Lösung gibt.

Diese Formel ist ja auch Unfug. Der Fragesteller möchte möglicherweise eine Formel haben, mit der die volle Vielfalt an Lösungen erkennbar ist. Angenommen, der Hebel kann sich nur um eine starre Achse drehen, die durch den Einheitsvektor $\begin{eqnarray*} \vec e_a \end{eqnarray*}$ gegeben ist, und das Drehmoment $\begin{eqnarray*} -\vec M \end{eqnarray*}$ ist an der Stelle $\begin{eqnarray*} \vec r \end{eqnarray*}$ durch eine zu bestimmende Kraft $\begin{eqnarray*} \vec F \end{eqnarray*}$ soweit auszugleichen, daß der Hebel in Ruhe bleiben kann. Dann wird aus

$\begin{eqnarray*} \vec M=\vec r\times\vec F\quad \end{eqnarray*}$ nunmehr

$\begin{eqnarray*} \vec e_a\cdot\vec M=\vec e_a\cdot (\vec r\times\vec F)=\vec F\cdot (\vec e_a\times\vec r)\quad \end{eqnarray*}$ (Spatprodukt)

D.h. alle $\begin{eqnarray*} \vec F \end{eqnarray*}$ , die möglich sind, liegen in einer Ebene.

26.05.2020, 19:33

Ulrich Ruhnau

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RE: 3D-Momentengeichgewicht - Kreuzprodukt
Ferner sei $\begin{eqnarray*} \vec r=r\,\vec e_r \end{eqnarray*}$ . Dann ist:

$\begin{eqnarray*} \vec e_a\cdot\vec M=\vec F\cdot (\vec e_a\times\vec e_r)r\quad \end{eqnarray*}$

Sei außerdem noch $\begin{eqnarray*} \vec F=\vec F_\parallel+\vec F_\perp \end{eqnarray*}$ eine Zerlegung des Kraftvektors in einen parallelen und einen senkrechten Anteil zu $\begin{eqnarray*} \vec e_a\times\vec e_r \end{eqnarray*}$ .

Dann ist: $\begin{eqnarray*} \vec e_a\cdot\vec M=\vec F_\parallel\cdot (\vec e_a\times\vec e_r)r\quad \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec e_a\cdot\vec M=\left|\vec F_\parallel\right|\cdot \left|\vec e_a\times\vec e_r\right|r\quad \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\vec e_a\cdot\vec M}{\left|\vec e_a\times\vec e_r\right|r}=\left|\vec F_\parallel\right| \quad \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\left(\vec e_a\cdot\vec M\right)\, \vec e_a\times\vec e_r}{\left|\vec e_a\times\vec e_r\right|^2r}=\vec F_\parallel\quad \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} \vec F_\parallel \end{eqnarray*}$ nur die effektive Komponente des Vektors $\begin{eqnarray*} \vec F \end{eqnarray*}$ ist. $\begin{eqnarray*} \vec F_\perp \end{eqnarray*}$ hat keinen Effekt und darf beliebig sein, solange man damit die Apparatur nicht durch Gewalt zerstört.

26.05.2020, 21:02

georgx

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RE: 3D-Momentengeichgewicht - Kreuzprodukt
Ulrich du Maschine! Augenzwinkern

Du erklärst es echt toll! Weiter so Augenzwinkern

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