Wieso kann ein endlicher Körper bestimme Anzahl von Elementen nicht besitzen?

25.05.2020, 10:57	koronoa	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso kann ein endlicher Körper bestimme Anzahl von Elementen nicht besitzen? Meine Frage: Zum Beispiel kann es keinen Körper mit 12 Elementen geben. Wieso ist dem so? Ich muss also zuerst: 1) Beweisen, dass es kleinste multipel $m$ von 1 der 0 ergibt eine Primzahl sein muss, weil man ansonsten einen Nullteiler haben würde 2) Beweisen, dass der Körper ein Vektorraum über einen Unterkörper ist 3) Alle Elemente in dem Körper zählen, falls die Dimension des Vektorraums $n$ ist Meine Ideen: So weit ich es verstanden habe liegt es daran, dass jeder Körper als $F_p^n$ geschrieben werden muss, weil man ansonsten einen Nullteiler haben würde. Das könnte ich natürlich wie ein Papagei nachplappern, aber wirklich verstehen tue ich es nicht.
25.05.2020, 13:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Körper mit 12 Elementen besteht aus den Elementen 11,2 $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ ,...,12* $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ , er enthält den Teilkörper 11,6 $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ ,12* $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ . Als Vektorraum den Dimension $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ über dem Teilkörper hat er $\begin{eqnarray} 3^n\ne 12 \end{eqnarray}$ Elemente. Das passt nicht zusammen. Genau so kann man immer argumentieren, wenn ein Körper pq Elemente hat, wobei p und q zwei verschiedene Primzahlen sind. (das ist nicht sonderlich elegant, in jedem Lehrbuch steht es besser drin)

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