Produktregel

25.05.2020, 12:12

Dopap

Produktregel

Oft schon gesehene "Regel" :
$\begin{eqnarray*} (f(x)\cdot g(x))' = f'(x)\cdot g'(x) \end{eqnarray*}$ was ja nicht immer falsch sein muss. Wenn es stimmt müsste $\begin{eqnarray*} \frac {f'}{f}=\frac {g'}{g'-g} \end{eqnarray*}$ gelten oder nach Integrieren $\begin{eqnarray*} f=\exp\left(\int \frac {g'}{g'-g}\dd x +C_1 \right) \end{eqnarray*}$ oder auch $\begin{eqnarray*} f=C_2\exp\left(\int \frac {g'}{g'-g}\dd x \right) \end{eqnarray*}$ .

Da fehlen bestimmt ein paar Voraussetzungen aber einfach mal weitersehen. Was käme da als Kandidat infrage? z.B. $\begin{eqnarray*} g(x)=x^r \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} f(x)=C_2\exp\left(\int \frac {r}{r-x}\dd x \right)=\frac{C}{(r-x)^r} \end{eqnarray*}$ was eine Probe bestätigt. Glück gehabt.
Bei $\begin{eqnarray*} \left(\frac {9}{\sqrt{1-2x}} \cdot \sqrt x\right)' \end{eqnarray*}$ dürfte der Schüler darauf pochen das richtige Ergebnis bestimmt zu haben. Augenzwinkern

mMn

Gibt es noch weitere explizite Fälle?

25.05.2020, 12:40

IfindU

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$\begin{eqnarray*} g(x) = \exp(\lambda x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1 \neq \lambda \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist leicht lösbar und deckt eine große Klasse von Funktionen ab.

25.05.2020, 18:16

Dopap

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Zitat:

Original von Dopap
$\begin{eqnarray*} f=C_2\exp\left(\int \frac {g'}{{\color{red}g'-g}}\dd x \right) \end{eqnarray*}$ .

bestimmt wegen $\begin{eqnarray*} g(x)= e^x\quad \Rightarrow \quad g'(x)-g(x)=0 \quad\forall x \in \mathbb D \end{eqnarray*}$ ?

würden denn abzählbar viele $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g'(\xi) -g(\xi)=0 \end{eqnarray*}$ Probleme bereiten?

25.05.2020, 18:56

IfindU

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Deine Umformung benötigt ein paar Annahmen.

Setze lieber $\begin{eqnarray*} (fg)' = f'g' \end{eqnarray*}$ an mit $\begin{eqnarray*} g(x) = e^x \end{eqnarray*}$ . Dann bekommst du als einzige Lösung $\begin{eqnarray*} f= 0 \end{eqnarray*}$ heraus, was auch erklärt, warum $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht als Exponential dargestellt werden kann.

26.05.2020, 01:39

Dopap

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ja, das ist sinnig.
Mit der "Formel" fand ich noch, dass sich $\begin{eqnarray*} \left( C\sqrt{ \frac {e^x}{\sin(x) +\cos (x)} }\cdot \cos (x)\right)' \end{eqnarray*}$ mit (uv)'=u'v' behandeln lässt.

Aber vorheriges Einsetzen ist grundsätzlich besser wie eine Formel.

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