Grenzwert gesucht

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Reddo18 Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert gesucht
Meine Frage:
Hallo miteinander,

ich bin verzweifelt auf der Suche nach dem Grenzwert der folgenden Funktion:

lim x->0: (e^x - e^-x - 2) / 1 - cos(x)



Beziehungsweise weiß ich, dass der Grenzwert Unendlich ergeben muss, jedoch habe ich bis dato keinen plausiblen Rechenweg gefunden

Meine Ideen:
Bin eigentlich davon ausgegangen, mit Termumformungen irgendwie L'Hospital anwenden zu können. Lässt man x gegen 0 laufen, kommt man aber bei der Funktion auf -2/0 und dies kriege ich mit keiner Termumformung zu 0/0 umgeschrieben.

Habe so ziemlich alles versucht... Bruch erweitern, auseinanderziehen, Additionstheorem, e^x ausklammern, etc.... übersehe ich da etwas?

Vielen Dank im Voraus!
G250520 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert gesucht
Der Nenner geht gegen 0 für x gg. 0
--> -2/0 = -oo
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Viel interessanter wäre für .

In deinem Fall ist L'Hospital genau die falsche Idee. Denn es kann ja direkt der Grenzwert ermittelt werden. In symbolischer Schreibweise gilt:



Was heißt das nun für deine Aufgabe?
Reddo18 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert gesucht
Aber -2/0 ist doch nicht -Unendlich? Ich teile hier doch durch 0, das wäre undefiniert....

hängt das damit zusammen, dass ich nur Werte sehr nahe der 0 einsetze und niemals x = 0? Gilt das also auch für jeden Ausdruck mit einer Konstanten, die "durch 0 geteilt" wird für x gegen 0 (1/0, 27/0, -3000/0, etc.)?
Reddo18 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Viel interessanter wäre für .

In deinem Fall ist L'Hospital genau die falsche Idee. Denn es kann ja direkt der Grenzwert ermittelt werden. In symbolischer Schreibweise gilt:



Was heißt das nun für deine Aufgabe?


Das -2/0 hier beispielsweise -Unendlich ergeben soll, war mir bisher gar nicht klar... Das wäre doch dann auch die Lösung meiner Aufgabe?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

ist keine Gleichung im Sinne der Algebra, sondern eine Merkformel in symbolischer Schreibweise für einen Sachverhalt, den man folgendermaßen beschreiben könnte:

Gilt und mit (bei einem speziellen Grenzübergang, hier für ), dann gilt (beim gegebenen Grenzübergang).

Und was ist mit ? Kannst du konkret bei unserer Aufgabe etwas dazu sagen?
 
 
Reddo18 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
ist keine Gleichung im Sinne der Algebra, sondern eine Merkformel in symbolischer Schreibweise für einen Sachverhalt, den man folgendermaßen beschreiben könnte:

Gilt und mit (bei einem speziellen Grenzübergang, hier für ), dann gilt (beim gegebenen Grenzübergang).

Und was ist mit ? Kannst du konkret bei unserer Aufgabe etwas dazu sagen?


Nun... den -2/0- kann man ja nicht einfach außer Acht lassen, wenn du schon so fragst.. Der Rechner sagt mir insgesamt kommt -Unendlich heraus. Aber wieso? Anscheinend existiert ja ein links- und rechtsseitiger Grenzwert - dann verstehe ich aber meine Aufgabenstellung nicht, weil hier ja nach einem eindeutigen Grenzwert gefragt ist. Ich denke Mal, das bei meiner Aufgabenstellung einfach -2/0+ gesucht ist?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht nur darum, daß du dich nicht durchpfuschst: Klaro, minus unendlich ist der Grenzwert!, sondern das auch begründen kannst. Untersuche das Vorzeichen von in der Nähe von , etwas links und etwas rechts davon. Was weißt du darüber, zum Beispiel aus dem Verlauf des Cosinusgraphen?
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