Erwartungstreue E((X+X)^2)

25.05.2020, 17:08	DanielUNi	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungstreue E((X+X)^2) Meine Frage: Wie berechne ich solche "binomischen Formeln" im Erwartungswert? Muss ich es machen wie bei normalen zahlen? Ich soll in der Aufgabe überprüfen, ob ein schätzer der so eine Teil beinhaltet erwartungstreu ist. Danke für eure Hilfe! Meine Ideen: Ansatz mit binomischen Formeln
25.05.2020, 18:05	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Für Terme innerhalb $\begin{eqnarray} E(\ldots) \end{eqnarray}$ gelten selbstverständlich alle bekannten algebraischen Umformungsregeln, u.a. auch die Binomische Formel: $\begin{eqnarray} E\left((X+Y)^2\right) = E\left(X^2+2XY+Y^2\right) \end{eqnarray}$ . Was anderes ist es jetzt, wenn man die Terme dann "aufbrechen" will in Einzelerwartungswerte, da sind die wichtigsten Grundregeln diese: 1) Der Erwartungswert einer Summe von Zufallsgrößen ist gleich der Summe der Summandenerwartungswerte: $\begin{eqnarray} E\left(X^2+2XY+Y^2\right) = E\left(X^2\right) + E\left(2XY\right) + E\left(Y^2\right) \end{eqnarray}$ . 2) Konstante (d.h. nichtzufällige) Faktoren darf man herausziehen: $\begin{eqnarray} E\left(2XY\right) = 2\cdot E\left(XY\right) \end{eqnarray}$ 3) Der Erwartungswert des Produktes unabhängiger (!) Zufallsgrößen ist gleich dem Produkt der Faktorenerwartungswerte: $\begin{eqnarray} E\left(XY\right) = E\left(X\right)\cdot E\left(Y\right) \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} X,Y \end{eqnarray}$ unabhängig. Dein $\begin{eqnarray} E\left((X+X)^2\right) \end{eqnarray}$ würde man natürlich eher so vereinfachen: $\begin{eqnarray} E\left((X+X)^2\right) = E\left((2X)^2\right) = E\left(4X^2\right) = 4\cdot E\left(X^2\right) \end{eqnarray}$

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