0-Dimensionalität eines real-analytischen Systems zeigen, keine Lösungen auf dem Rand

25.05.2020, 17:44	davidpx	Auf diesen Beitrag antworten »
0-Dimensionalität eines real-analytischen Systems zeigen, keine Lösungen auf dem Rand Ich würde gerne für ein Problem der folgenden Art zeigen, dass die Lösungsmenge für ein System der folgenden Art keine 1-dimensionalen Teilmengen enthalten kann, sprich aus isolierten Punkten besteht - oder, falls meine Vermutung gar nicht stimmt, ein Gegenbeispiel finden. Gegeben ist ein System $\begin{eqnarray} F(x,y)=[f(x,y),g(x,y)]^T=0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} F:[0,1]^2 \rightarrow R^2 \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} f,g \end{eqnarray}$ real-analytische Funktionen sind. Ferner weiß ich, dass ein $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ existiert, sodass: $\begin{eqnarray} f(x,y)=0 \end{eqnarray}$ Lösungen nur in $\begin{eqnarray} [0,1]\times[\epsilon,1-\epsilon] \end{eqnarray}$ besitzt, und für jedes $\begin{eqnarray} x\in [0,1] \end{eqnarray}$ mindestens eine solche Lösung existiert. Umgekehrt besitzt $\begin{eqnarray} g(x,y)=0 \end{eqnarray}$ nur Lösungen in $\begin{eqnarray} [\epsilon,1-\epsilon]\times[0,1] \end{eqnarray}$ , und für jedes $\begin{eqnarray} y\in[0,1] \end{eqnarray}$ mindestens eine Lösung. Entsprechend hat das System keine Lösungen auf dem Rand, jede Gleichung für sich aber Lösungen hat, nämlich jeweils zwei Punkten "auf gegenüberliegenden Kanten" und in deren Nähe, die die andere Gleichung nicht löst. Ich würde gerne zeigen, dass die Menge $\begin{eqnarray} \{(x,y)\in(0,1)^2: F(x,y)=0\} \end{eqnarray}$ diskret ist, wenn möglich sogar endlich. Ich habe den Verdacht, dass dies aus dem real-analytischen Identitätstheorem folgen müsste, und natürlich dem Wissen, dass es Bereiche im Inneren der Domäne gibt, in denen die Funktionen nicht übereinstimmen. Aber leider gelingt es mir nicht, dies formal zu zeigen. Kernidee meiner bisherigen Versuche war im wesentlichen, dass falls die Lösungspunkte nicht isoliert sind, eine lokale Parametrisierung $\begin{eqnarray} x(s),y(s) \end{eqnarray}$ möglich sein müsste, mit $\begin{eqnarray} F(x(s),y(s))=0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} s\in(-\delta,\delta) \end{eqnarray}$ - nur bekomme ich daraus bislang nicht den erhofften Widerspruch. (meine mathematische Ausbildung ist leider eher rudimentär) Vielleicht irre ich mich auch, dann würde ein Gegenbeispiel meinem Verständnis sehr weiterhelfen. Schließlich: Wenn die Vermutung stimmt, wäre es hilfreich zu wissen, ob dies dann auch auf analoge Fälle in 3+ Dimensionen (3 Funktionen, 3 Variablen, etc) übertragbar ist. Über Hinweise jeder Art würde ich mich sehr freuen. Danke!

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