Matrix einer linearen Abbildung bezüglich der Basis bestimmen

Neue Frage »

25.05.2020, 18:54	Klara1402	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix einer linearen Abbildung bezüglich der Basis bestimmen Meine Frage: Meine Frage bezieht sich auf folgende Aufgabe: Seien a,b Element aus den reelen Zahlen^2 linear unabhängig. Wir betrachten die lineare Abbildung P_a,b: R^2->R^2, die v=ka+mb auf P_a,b(v)=ka abbildet. Was ist die geometrische Bedeutung dieser Abbildung? Bestimmen Sie die Matrix M zu P_a,b bzgl. der Basis A=(a,b) und die Matrix N bzgl. der kanonischen Basis K=(e_1,e_2) Meine Ideen:* Müsste die geometrische Bedeutung nicht quasi sein, dass b auf 0 abbgebildet wird, egal wie b aussieht? Bei der Bestimmung der Matrix hätte ich versucht für Basis A P(a,b)=ka aufzustellen, komme aber hier nicht weiter, da ich doch aus ka keine Matrix basteln kann, oder? Vielleicht verstehe ich aber auch schon die Aufgabe völlig falsch... Für K als Basis hätte ich einmal P((1,0))=k*1=k und P((0,1))=0 berechnet, da komme ich aber auch nicht viel weiter. WÜrde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen kann!
25.05.2020, 19:43	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix},b=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}\in \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ sind linear unabhängig, bilden also eine Basis $\begin{eqnarray} A=\{a,b\} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} P_{\{a,b\}} \end{eqnarray}$ bildet $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} a=1\cdot a+0\cdot b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} 0=0\cdot a+0\cdot b \end{eqnarray}$ ab. Man nennt das die Projektion auf den UVR $\begin{eqnarray} <a> \end{eqnarray}$ längs des UVR $\begin{eqnarray} <b> \end{eqnarray}$ . In den Spalten der Matrix stehen immer die Bilder der Basisvektoren. Also ist $\begin{eqnarray} M_A(P)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Du musst nur noch $\begin{eqnarray} K=\{e_1,e_2\} \end{eqnarray}$ in der Basis $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ darstellen, durch $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ abbilden, und den Merksatz "In den Spalten der Matrix stehen immer die Bilder der Basisvektoren" beachten, dann findest du auch die Matrix $\begin{eqnarray} M_K(P) \end{eqnarray}$ . (Das nennt man Basiswechsel.)
25.05.2020, 21:09	Klara1402	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort! Um sicher zu gehen: Ich setze die einzelnen Basisvektoren in P_a,b(v) ein und nehme dann k und m und nehme diese Skalare als Spalte, da es sich um die Bilder der Basisvektoren handelt? Für e1=(e11,e12) und e2=(e21,e22) wäre das aber dann doch: P(e1)=k(e11,e12)+mb=1e1+0b und P(e2)=ka+m(e21,e22)=00+0e2 Also genau dieselbe Matrix wie für A... das kann doch nicht sein, oder?
25.05.2020, 21:47	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das kann nicht sein. Die Standardbasis ist {(1,0),(0,1)}, und diese musst du mit der Projektion auf <a> längs <b> abbilden. Damit das möglich ist habe ich a und b schon mal als Koordinatenvektoren geschrieben, das sollte ein Wink mit dem Zaunpfahl gewesen sein, den du anscheinend nicht gesehen hast.
25.05.2020, 22:13	Klara1402	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nicht genau, was du mit der Projektion auf <a> längs <b> meinst? So wie ich das verstanden hatte, muss ich die Vektoren in P(v) einsetzen, der aber ja nur auf ka abbildet. Du hast sie aber in v=ka+m*b eingesetzt, oder? Sorry, stehe total auf dem Schlauch
25.05.2020, 22:26	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
ka+mb wird auf ka abgebildet. Die Frage ist, wohin genau diese Abbildung p(1,0)+q(0,1) abbildet. Du musst (1,0),(0,1) in der a, b Basis schreiben und abbilden und die Bilder wieder in der (1,0),(0,1) Basis schreiben, diese Bilder kommen dann in die Spalten der Matrix. Als Hinweis habe ich auch noch das Stichwort Basiswechsel angegeben. Du kannst nun etwas rechnen oder etwas lesen. Nachdem ich fast alles gemacht habe, bist du auch mal dran. Ich habe den Eindruck, dass du noch nicht einmal meine Antworten gelesen hast. Dass du auf dem Schlauch stehst ist normal. Dieses Thema ist für jeden Anfänger schwer zu verstehen, aber da musst du durch. Die ganze lineare Algebra hängt davon ab.
Anzeige

25.05.2020, 23:29	Klara1402	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe ja schon garnicht, wie du auf die Matrix zu A kommst... Momentan versuche ich, dass irgendwie nachzuvollziehen, was mir nicht wirklich gelingt, da ich nicht verstehe wie du auf a=1a+0b kommst aus a=(a1,a2) und b=0a+0b kommst. Mich verwirrt diese Abbildung von v=ka+mb nach k*a...
26.05.2020, 07:15	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
a=1a ist ein Vektorraumaxiom. 0b=(0+0)b=0b+0b, also ist 0b wegen der Eindeutigkeit des Nullelements in einer additiven Gruppe der Nullvektor. Daher ist a=a+0=1a+0b die eindeutige Basisdarstellung von a in der Basis {a,b}. Wenn dir alle Grundlagen über Vektorräume, lineare Abbildungen und Matrizen fehlen, kannst du die Aufgabe und meine ausführliche Hilfe nicht verstehen. Studiere dein Vorlesungsskript oder ein Buch "Einführung in die lineare Algebra". Da steht alles drin was du brauchst.
26.05.2020, 11:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip funktioniert der Basiswechsel durch Berechnung einer Matrix $\begin{eqnarray} SMS^{-1} \end{eqnarray}$ . Ich mache dir mal ein simples Beispiel an dem du deine weiteren Rechnungen und Ergebnisse ausprobieren kannst. Mache eine Skizze, dann verstehst du die Projektion auf <a> längs <b> besser. Das muss man einmal gesehen haben, sonst begreift man nie, worum es geht. $\begin{eqnarray} a=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},b=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix},e_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},e_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix},M=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},S=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix},S^{-1}=\begin{pmatrix} \frac 1 2 & \frac 1 2 \\ \frac 1 2 & -\frac 1 2 \end{pmatrix},SMS^{-1}=\begin{pmatrix} \frac 1 2 & \frac 1 2 \\ \frac 1 2 & \frac 1 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
26.05.2020, 22:32	Klara1402	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank erstmal für deine Geduld und deine Antworten. Ich habe heute nochmal einiges dazu gelesen und wäre zu folgendem Ergebnis gekommen: Die Matrix bzgl. K müsste sich doch wie folgt zusammensetzen: Ich versuche, die kanonischen Basisvektoren (1,0) und (0,1) als durch die Basis A darzustellen: ka+mb=(1,0) also ka=(k_1,k_2) und ka+m*b=(0,1) bildet auf der 0 ab. Dann wäre die Matrix zu k, da die Bildvektoren in den Spalten stehen demnach: k_1 0 k_2 0 das könnte man doch dann auch als 1-spaltige Matrix schreiben, oder? k_1 k_2 Soweit zu meinen Überlegungen heute. Hoffe, es ist nicht völlig am Ziel vorbeigeschossen...

Neue Frage »

Antworten »

Matrix einer linearen Abbildung bezüglich der Basis bestimmen

Verwandte Themen